学生の方双曲線って、言葉だけじゃどんな形か想像つかないっす
実は、双曲線は初めて見るグラフではありません。
小６とか中１に習った、y=\dfrac{1}{x}っていうグラフを覚えていませんか？
この、なつかしすぎる反比例のグラフも、双曲線の一種です。
学生の方中1で習って以来、高3まで出てこないとか、時空を超えている感がすごい。
数学Cでは、反比例の形に限らず、双曲線を焦点や方程式から詳しく調べていきます。
数学Cで双曲線を習うと、
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1という方程式が登場します。
楕円と違ってグラフが2つに分かれていたり、「漸近線」という直線が出てきたり。式を見ただけでは、どこから手をつければいいか迷いますよね。
双曲線は、正の項から開く向きを判断し、頂点・焦点・漸近線を順に求めると整理できます。
この記事では、双曲線の意味と基本形から、平行移動までを3つの例題で解説します。
- 双曲線と焦点の意味
- 縦向き・横向きの見分け方
- 頂点・焦点・漸近線の求め方
- 焦点や距離の条件から、方程式を求める方法
- 平方完成して、平行移動した双曲線を調べる方法
粗茶
- 文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
- 指導歴15年
- 数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。
双曲線は「2つの定点からの距離の差の絶対値が一定」の点の集まり
異なる2つの定点を F_1,F_2 とします。
この2点からの距離の差の絶対値が一定である点 P の集まりが、双曲線です。
この2つの定点を焦点といいます。
ただし、「一定の値」は、0より大きく、焦点間の距離より小さいものとします。
たとえば、
|PF_1-PF_2|=6
なら、2つの焦点までの距離を比べたとき、大きいほうから小さいほうを引くと、いつも6になるということです。
例えば、最初にも出てきた
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1のグラフで考えてみましょう。
このグラフの焦点は(5,0)と(-5,0)です。
粗茶さん焦点の求め方は後ほど。
グラフ上に2点P_1\left(\cfrac{15}{4},3\right)，P_2(-3\sqrt{2},-4)をとります。
双曲線は、2つの焦点から距離の差が一定である点の集まりだったので、
|P_1F_1-P_1F_2|と|P_2F_1-P_2F_2|が等しくなるはずです。
実際にやってみましょう。
P_1F_1=\sqrt{\left(\frac{15}{4}+5\right)^2+3^2}=\frac{37}{4},P_1F_2=\sqrt{\left(\frac{15}{4}-5\right)^2+3^2}=\frac{13}{4}なので、差の絶対値をとって、
|P_1F_1-P_1F_2|=\left|\cfrac{37}{4}-\cfrac{13}{4}\right|=\left|\cfrac{24}{4}\right|=6ってなります。
同じようにP_2の方もやってみると、
P_2F_1=\sqrt{(-3\sqrt{2}+5)^2+(-4)^2}=\sqrt{59-30\sqrt{2}}=5\sqrt{2}-3,P_2F_2=\sqrt{(-3\sqrt{2}-5)^2+(-4)^2}=\sqrt{59+30\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+3差の絶対値をとって、
|P_2F_1-P_2F_2|=|(5\sqrt{2}+3)-(5\sqrt{2}-3)|=6となって、どっちも６になります。
ちなみに、二重根号の外し方はこちらをご覧ください。
絶対値があるので、グラフは2つの部分に分かれる
|PF_1-PF_2|=6 は、
PF_1-PF_2=6
または、
PF_1-PF_2=-6
という意味です。
どちらの焦点に近いかによって2つの場合があり、双曲線は離れた2つの部分からできています。この各部分を、双曲線の枝といいます。
「差が6になる側」だけを考えると、片方の枝しか表せません。
軌跡の問題では、絶対値の有無も確認しましょう。
双曲線の基本形は「どちらの項が正か」に注目
ここでは a,b を正の数とし、a は横方向、b は縦方向に対応させます。楕円と違い、a と b の大小で開く向きは決まりません。
中心が原点で、軸が座標軸に沿っている双曲線の基本形は、次の2種類です。
横向き：xの項が正の場合
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1は、左右に開く双曲線です。
y=0 を代入すると、
\frac{x^2}{a^2}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm aとなるので、x 軸との交点は (a,0),(-a,0) です。この2点を頂点といいます。
また、方程式を書き直すと、
\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}であり、\cfrac{y^2}{b^2}は0以上なので、右辺は1以上。ってことは左辺も1以上なので、
\frac{x^2}{a^2}\geqq1が成り立って、分母をはらってx^2\geqq a^2 です。
これを解いて、グラフがあるのは x\geqq a と x\leqq-a の範囲。
中央の -a<x<a には、グラフがありません。
縦向き：yの項が正の場合
\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1は、上下に開く双曲線です。
x=0 を代入すると、y=\pm b となるので、頂点は (0,b),(0,-b) です。
横向きの双曲線と同じように考えると、 y^2\geqq b^2 であり、
これを解いて、グラフがあるのは y\geqq b と y\leqq-b
なので、上側と下側に枝ができます。
学生の方縦と横はどこで判断するの？
粗茶さん正になっている項がxかyかで判断しましょう。右辺を1にしたあとに、xの項が正なら左右、yの項が正なら上下です。
たとえば、
-\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1は、y の項が正なので縦向きです。
\cfrac{x^2}{9}-\cfrac{y^2}{4}=-1のように、常にxの項を正、yの項が負になるようにして、右辺が-1なら上下 と判断することもできます。
焦点は「分母を足して、ルート」で求める
中心から焦点までの距離を c とすると、双曲線では、
c^2=a^2+b^2
が成り立ちます。したがって、
c=\sqrt{a^2+b^2}です。
楕円では分母の差を使いましたが、双曲線の焦点は、分母の和の平方根です。
| 基本形 | 頂点 | 焦点 | 距離の差の絶対値 |
|---|---|---|---|
| \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 | (\pm a,0) | (\pm\sqrt{a^2+b^2},0) | 2a |
| \dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1 | (0,\pm b) | (0,\pm\sqrt{a^2+b^2}) | 2b |
焦点は、双曲線が開く方向の軸の上にあります。
また、c>a、c>b なので、焦点は頂点よりも中心から遠い位置になります。
距離の差が2aになる理由を確かめよう
横向きの双曲線の焦点を (-c,0),(c,0)、右の頂点を (a,0) とします。
この頂点から焦点までの距離は、それぞれ c+a、c-a です。
c>a なので、どちらも正の値になります。
（下の図は焦点(c,0)の場合）
その差は、
(c+a)-(c-a)=2a
です。
双曲線上では距離の差の絶対値が一定なので、その値は 2a になります。
縦向きの場合も同じように考えると、2b です。
焦点の座標が求められる理由を、「距離の差が2a」から考える
学生の方そもそも焦点の座標が\pm\sqrt{a^2+b^2}になるのはなぜ？
スルーしたままごまかそうとも思いましたが、やっぱり説明しておきましょう。
双曲線が「2つの焦点からの距離の差が2aである点P(x,y)の軌跡」であることから考えることにします。
2つの焦点をF(c,0)，F'(-c,0)とすると、
|PF-PF'|=2a
が成り立ちます。これを変形すると双曲線の方程式になるはずなので、やってみます。
とりあえず絶対値をはずして、
PF-PF'=\pm2a\cdots\text{①}2点間の距離の公式から、
\begin{array}{l}
PF=\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2},\\\\
PF'=\sqrt{\{x-(-c)\}^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{array}なので、①に代入して、
\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm2aこのまま両辺を2乗してルートを外そうとしてもうまくいかないので、マイナスがついてるほうのルートを移項。
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}この両辺を2乗して整理すると、
\begin{array}{rcl}
(x-c)^2+y^2&=&4a^2\pm4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2\\\\
x^2-2cx+c^2+y^2&=&4a^2\pm4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2\\\\
-4cx-4a^2&=&\pm4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{array}4で割って、
-cx-a^2=\pm a\sqrt{(x+c)^2+y^2}両辺を2乗して整理すると、
\begin{array}{rcl}
c^2x^2+2a^2cx+a^4&=&a^2\{(x+c)^2+y^2\}\\\\
c^2x^2+2a^2cx+a^4&=&a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\\\
c^2x^2+a^4&=&a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2
\end{array}x^2とy^2の項を左辺に、それ以外の項を右辺に移動します。
c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4
ちょっとまとめて、
(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)
これで左辺はx^2の項とy^2の項の引き算の形、右辺は定数になっています。
両辺をa^2(c^2-a^2)で割って右辺を1にすると、双曲線の方程式になります。
\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{\color{red}c^2-a^2}=1これを、双曲線の方程式の標準形である
\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{\color{red}b^2}=1と比較するとy^2の分母（赤いところ）が等しいはずなので、
c^2-a^2=b^2
つまり、
c^2=a^2+b^2
したがって、
c=\pm\sqrt{a^2+b^2}ってなって、確かに焦点のx座標は\pm\sqrt{a^2+b^2}でした。
学生の方長い…
漸近線は、双曲線が遠くで近づいていく直線
双曲線のグラフを描くときに役立つのが、漸近線です。「ぜんきんせん」と読みます。
双曲線の枝を遠くまでたどると、ある直線との距離が0に近づいていきます。この直線が漸近線です。
あまり意識してこなかったかもしれませんが、数学IIで習った指数関数にも、漸近線があります。
たとえば、y=2^x の漸近線は、y=0、つまりx軸です。
x=-1,-2,-3,\ldots と負の方向へ進むと、y=\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18,\ldots と、グラフとx軸のすき間はどんどん小さくなります。
ただし、2^x はいつも正なので、0には近づいても、0になることはありません。
「遠くへたどると、ある直線に限りなく近づく」というイメージは、双曲線でも同じです。
右辺を0にすると、漸近線の式が出てくる
横向きの双曲線
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1の漸近線を考えてみます。厳密にやると結構大変なので、ここではおおまかな考え方を示しておきます。
双曲線の式をy^2について解くと、
y^2=\cfrac{b^2}{a^2}x^2-b^2\cdots\text{②}となります。これのxをものすごく大きい数、たとえば10000にしてみると、
y^2=\cfrac{b^2}{a^2}\cdot 100000000-b^2です。このとき、右辺の\cfrac{b^2}{a^2}\cdot 100000000に対して、b^2はとても小さいですよね。つまり、
\cfrac{b^2}{a^2}\cdot 100000000-b^2と、
\cfrac{b^2}{a^2}\cdot 100000000は、ほぼ同じとみることができます。
ということは、xがとても大きいとき、-b^2はあってもなくてもほとんど変わらない、つまり無視できるようになります。
なので、漸近線は、②のb^2を消して、
y^2=\cfrac{b^2}{a^2}x^2両辺をb^2(>0)で割って整理すると、
\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0となります。
この式、双曲線の式の右辺が0になったものなので、双曲線の漸近線は、双曲線の方程式の右辺を0にしたものを整理して求めると覚えておくとよいですね。
粗茶さん双曲線の方程式そのものを変形したものではなくて、別の式を考えていることに注意しましょう。
左辺を因数分解して、
\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0なので、
y=\frac{b}{a}x\quad\text{または}\quad y=-\frac{b}{a}xとなります。
縦向きの双曲線でも、右辺を0にすると同じ計算になるので、漸近線も同じ式です。
中心が原点の双曲線は、横向きでも縦向きでも、漸近線は
\boxed{y=\pm\frac{b}{a}x}※これは、双曲線の式の右辺を0に変えた
\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0を解くと求められる。
方程式から頂点・焦点・漸近線を求める
ここからは、双曲線に関する問題をやっていきましょう。
双曲線
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1の頂点、焦点、漸近線を求め、グラフの概形を説明せよ。
正の項を見て、開く向きを判断する
x^2 の項が正なので、左右に開く双曲線です。
a^2=16、b^2=9 より、a=4、b=3 です。
したがって、頂点は、
\boxed{(4,0),(-4,0)}となります。
焦点は、分母を足して求める
中心から焦点までの距離は、\sqrt{a^2+b^2}、つまり
c=\sqrt{16+9}=5です。焦点も横方向に並ぶので、
\boxed{(5,0),(-5,0)}となります。
漸近線を描いて、枝の向きをつかむ
漸近線は、
y=\pm\frac{b}{a}xに a=4、b=3 を代入して、
\boxed{y=\pm\frac34x}です。
グラフを描くときは、原点を中心として、まず2本の漸近線を補助線として描きます。次に頂点 (4,0),(-4,0) を取り、それぞれ右側・左側へ開き、遠くで漸近線に近づく2本の枝を描きましょう。
この双曲線はy軸とは交わりません。 x=0 を代入すると -y^2/9=1 となり、実数の y が存在しないからです。
焦点と距離の差から方程式を求める
2点 F_1(0,-5),F_2(0,5) からの距離の差の絶対値が6である点 P の軌跡を求めよ。
焦点の位置から、縦向きと判断する
焦点間の距離は10です。一定の値6は0より大きく10より小さいので、軌跡は双曲線です。
焦点が y 軸上に並んでいるため、中心が原点の縦向きの双曲線になります。
方程式の形は、
\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1です。
縦向きでは、距離の差の絶対値が 2b なので、
2b=6\quad\Rightarrow\quad b=3
です。また、中心から焦点までの距離は c=5 です。
焦点の関係式から、残りの分母を求める
c^2=a^2+b^2 に値を代入して、
粗茶さん焦点の座標を求めるときに使った関係式です。
25=a^2+9
したがって、a^2=16 です。
よって、求める軌跡は、
\boxed{\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1}となります。
距離の差6を、そのまま分母にしないことがポイントです。
まず半分にして3、その2乗の9が、正の項の分母になります。
負の項の分母は、c^2=a^2+b^2から求めましょう。
平行移動した双曲線は、中心を基準に考えよう
中心が原点以外の双曲線は、原点を中心とする双曲線をx軸方向にh，y軸方向にhだけ平行移動したものと考えます。
関数の平行移動は大丈夫かと思いますが、
関数y=f(x)のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動すると、
y-q=f(x-p)
y=f(x)でなくても同じことができるので、原点中心の双曲線の式のxをx-pに、yをy-qに置き換えます。
ということで、中心が(h,\quad k)である横向きの双曲線の方程式は、
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1です。頂点と焦点は、中心を基準にして左右に動かして求めます。
\text{頂点 }(h\pm a,k),\qquad\text{焦点 }(h\pm\sqrt{a^2+b^2},k)縦向きなら、
\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1となり、頂点と焦点は、
\text{頂点 }(h,k\pm b),\qquad\text{焦点 }(h,k\pm\sqrt{a^2+b^2})です。ただし、いずれも a,b>0 とします。
漸近線は、どちらの向きでも、
\boxed{y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)}です。漸近線も、双曲線と一緒に平行移動するので、中心 (h,k) を通ります。
平方完成して、中心・焦点・漸近線を求める
最後に、中心が原点でない双曲線の問題を１つ。
双曲線
9x^2-4y^2-18x-16y-43=0
の中心、頂点、焦点、漸近線を求めよ。
学生の方双曲線の形に見えないんですが…
粗茶さん円や楕円のときと同じように、平方完成すると形が見えてきますよ。
マイナスの係数に気をつけて平方完成する
文字ごとにまとめると、
9(x^2-2x)-4(y^2+4y)=43
です。それぞれ平方完成して、
9\{(x-1)^2-1\}-4\{(y+2)^2-4\}=43となります。
中カッコをはずして整理すると、
9(x-1)^2-4(y+2)^2=36
両辺を36で割って、
\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y+2)^2}{9}=1となります。
双曲線の式\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y}{9}=1のxがx-1に、yがy+2になった形です。
中心から頂点・焦点の位置を決める
中心は (1,-2) です。x の項が正なので横向きで、a=2、b=3 です。
頂点は中心から左右に2ずつ動かして、
\boxed{(3,-2),(-1,-2)}です。
中心から焦点までの距離は、
c=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}なので、焦点は中心から左右に\sqrt{13}ずつ動かして
\boxed{(1+\sqrt{13},-2),\quad(1-\sqrt{13},-2)}となります。
漸近線も中心を通るように移動する
h=1、k=-2、a=2、b=3 を代入して、漸近線は、
\boxed{y+2=\pm\frac32(x-1)}です。
式に x=1、y=-2 を入れると、漸近線の両辺が0になります。中心を通っているか、最後に確認しておきましょう。
双曲線で間違えやすい3つのポイント
開く向きは、分母の大小では決まらない
楕円では、分母が大きい方向に長くなりました。
双曲線では、右辺を1にそろえたとき、正の項に対応する方向に開きます。
y 側の分母のほうが大きくても、x の項が正であれば横向きになります。
左辺を\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}の形にしたあとに、右辺が 1なら横向き、右辺が-1なら縦向き、してもいいですね。
双曲線の焦点は「足し算」
双曲線では、
c^2=a^2+b^2
です。
焦点までの距離 c は、a,b のどちらよりも大きくなります。焦点が頂点より中心に近くなっていたら、計算や公式を見直しましょう。
漸近線の傾きは、分母そのものの比ではない
x 側の分母が16、y 側の分母が9なら、a=4、b=3 です。
漸近線の傾きは \pm3/4 であって、\pm9/16 ではありません。
忘れたときは、基本形の右辺を0にして、2本の直線の式を求め直せます。
まとめ：向き・頂点・焦点・漸近線の順に調べよう
双曲線は、2つの焦点からの距離の差の絶対値が一定である点の集まりです。
中心が原点の場合、a>0,b>0 として、
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1なら横向き、
\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1なら縦向きです。
問題を解くときは、次の流れで整理しましょう。
- 必要なら平方完成して、右辺を1にそろえる
- 中心と、正の項から開く向きを読み取る
- 正の項の分母の平方根を使って、頂点を求める
- 分母の和の平方根を使って、焦点までの距離を求める
- 漸近線を求め、2つの枝の概形を描く
向きは正の項、焦点は分母の和、漸近線は右辺を0に。
楕円との違いを意識しながら、方程式からグラフの形を思い浮かべる練習をしていきましょう。
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