【2次方程式】重解が-b/2aになるのはなぜ？理由をわかりやすく解説！

2026-09-22

学生の方

問題集の解説を見てたら、「2次方程式の重解が $-\cfrac{b}{2a}$ って書いてあったんだけど、いきなりどうした？

「2次方程式が重解を持つ条件とその重解を求めよ」という問題、解くことができるんだけど、いきなり

重解はx=-\cfrac{b}{2a}

って書いてあって、戸惑っていませんか？

覚えればいいといえばいいんですが、理由も合わせて知っておけば、丸暗記して忘れることを繰り返さなくても済みますよ。

この記事を書いた人

粗茶

文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
指導歴15年
数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。

正体は「解の公式」

突然の $-\cfrac{b}{2a}$ ですが、これは解の公式の特殊な形といえます。

2次方程式の解の公式は覚えてますよね？

2次方程式の解の公式

$a\neq 0$ とする。2次方程式

ax^2+bx+c=0

の解は、

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

普段から使っているかと思います。

学生の方

これと $-\cfrac{b}{2a}$ が関係あるの？

よく見てみると、この解の公式の中に、 $-\cfrac{b}{2a}$ が含まれていることに、気づきませんか？

実は、解の公式の $\pm\sqrt{b^2-4ac}$ がなくなると、 $-\cfrac{b}{2a}$ になるんですねえ。

重解を持つ⇔判別式が0

2次方程式の解の個数を調べる方法に、判別式がありました。

判別式と解の個数

$a\neq 0$ として、2次方程式

ax^2+bx+c=0

について

b^2-4ac

を判別式といい、2次方程式の解について

\left\{\begin{array}{lll} b^2-4ac>0&のとき&異なる2つの実数解\\\\ b^2-4ac=0&のとき&実数の重解\\\\ b^2-4ac<0&のとき&実数解なし（異なる2つの虚数解） \end{array}\right.

がいえる。

そして、この判別式 $b^2-4ac$ というのは、解の公式

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{\color{Red}b^2-4ac}}{2a}

のルートの中身なのです。

粗茶さん

そもそも $\sqrt{b^2-4ac}$ が0より大きいのか、0なのか、虚数なのかで解の個数がわかるっていう話なんですけどね。

そして、重解をもつとき

\color{Red}b^2-4ac=0

だったので、解の公式に代入しちゃうと、その解は、

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{\color{Red}b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{-b\pm\sqrt{\color{Red}0}}{2a}=-\cfrac{b}{2a}

ってなるわけです。

よって、次のことが成り立ちます。

2次方程式の重解

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ ）が重解をもつとき、その重解は

x=-\cfrac{b}{2a}

（解の公式のルートの部分が0になったやつ）

2次方程式が重解を持つ条件の問題

それでは最後に、問題を１つやっておきましょう。

例題

2次方程式

x^2+kx+k+3=0

が重解を持つような定数 $k$ を求めよ。また、その重解を求めよ。

重解なので、判別式が0になればいいですね。

この方程式の判別式を $D$ とすると、

D=k^2-4\cdot1\cdot(k+3)=k^2-4k-12

粗茶さん

$b^2-4ac$ の、 $b$ に $k$ ， $a$ に $1$ ， $c$ に $k+3$ があてはまります。

重解をもつとき、 $D=0$ なので、

\begin{array}{ll} &k^2-4k-12=0\\\\ &(k+2)(k-6)=0\\\\ \therefore&k=-2,6 \end{array}

これでkが求まったので、それぞれについて重解 $x=-\cfrac{b}{2a}$ を求めれば完了。

重解をもつとき、その重解は

x=-\cfrac{k}{2\cdot 1}=-\cfrac{k}{2}

粗茶さん

$-\cfrac{b}{2a}$ の、 $b$ に $k$ ， $a$ に $1$ を代入したよ。

なので、

\left\{ \begin{array}{ll} k=-2のとき&重解は1\\\\ k=6のとき&重解は-3 \end{array} \right. 　\cdots（答）

という感じで、重解を簡単に求めることができました。

もちろん、方程式にkを直接代入して、方程式を解いて重解を求めてもOK。

k=-2のとき、方程式は

\begin{array}{ll} &x^2-2x+1=0\\\\ &(x-1)^2=0\\\\ \therefore&x=1 \end{array}

k=6のとき、方程式は

\begin{array}{ll} &x^2+6x+9=0\\\\ &(x+3)^2=0\\\\ \therefore&x=-3 \end{array}

この方法で解いてもらって全く問題ないんですが、 $-\cfrac{b}{2a}$ を使った方がちょっとはやいですね。

まとめ

この記事では、2次方程式の重解が $-\cfrac{b}{2a}$ で表される理由について解説しました。

唐突に出てくると戸惑ってしまいそうですが、解の公式のルートの部分が0になったものと覚えておけば大丈夫。

自分で問題を解くときに使えなくても困ることは少ないですが、模範解答などに登場することが多いので、意味はわかっておくといいですね。

このブログでは，自分で勉強しているとき，つまづきやすいポイントを解説。

「かゆいところに手が届く」情報を発信しています。

自分で勉強する際にオススメの参考書や，勉強が楽しくなる文房具も紹介していますので，よろしければご覧ください！