【図形と方程式】円の接線の方程式を簡単に!中心が原点以外でもOK

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今回は「円の接線の方程式」のお話です。

円の接線の求め方って,なんだか文字が多くなってごちゃごちゃすると思っていませんか?

実は,円の接線の方程式は,文字1つをおくことで求めることができてしまいます

この記事を読むとわかること

・円の接線の方程式を,1つの文字をおくだけで求めることができる。

この記事を書いた人
粗茶
  • 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
  • 講師歴13年
  • 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
目次

予備知識

円の接線とは

円の接線とは,円に接している(1点を共有する)直線のことです。

円の中心と接点を結んだ直線は,接線と垂直に交わるという性質があります。

直線の方程式

直線の方程式は,「傾き」と「通る点」がわかれば,求めることができます。

直線の方程式

傾きがmで点(p,q)を通る直線の方程式は

y-q=m(x-p)

例えば,傾きが2で,点(1,3)を通る直線は,

y-3=2(x-1)

 \therefore y=2x+1

のように求められます。

円の接線を求めよう

それでは,円の接線を求めていきましょう。

原点が中心の円で,接点がわかっている場合

もっとも易しいパターンです。

例題1

x^2+y^2=25の、点(4,3)における接線の方程式を求めよ。

 「点(4,3)における」とは、「点(4,3)が接点ですよ」ということなので,図はこんな感じになります。

原点が中心の円で,接点がわかっている場合は、文字をおく必要もありません。

円の中心と接点を結ぶ直線(上図の青い線)の傾きは\cfrac{3}{4}

これが接線と垂直になっていることから、接線の傾きを求めることができます。

ここで使う公式がこちら。

2直線の垂直

傾きmの直線と傾きnの直線が垂直に交わるとき、

mn=-1 すなわち、n=-\cfrac{1}{m}

傾きを逆数にしてマイナス倍すると、垂直な直線の傾きになります。

今回の場合は、青い線の傾きが\cfrac{3}{4} なので、接線の傾きは-\cfrac{4}{3}

もちろん接点(4,3)を通ります。

というわけで求める接線は、傾き-\cfrac{4}{3}で、(4,3)を通る直線なので、

y-3=-\cfrac{4}{3}(x-4)

よって,y=-\cfrac{4}{3}x+\cfrac{25}{3} …(答)

ただ,原点が中心の円の接線については,次の公式があります。

原点が中心の円の接線

x^2+y^2=r^2の,点(a,b)における接線の方程式は,

ax+by=r^2

今回の場合だと,円の式がx^2+y^2=25,接点が(4,3)だったので,公式にあてはめると,接線の方程式は,

4x+3y=25

よって,y=-\cfrac{4}{3}x+\cfrac{25}{3}

となります。さっきと同じです。

中心が原点の場合については,この公式でやったほうが早いことが多いです。

接点がわからないけど,他の点がわかっている場合

大抵の問題は,接点はわかっておらず,代わりに他の通る点が与えられています。

例題2

点(3,1)を通り,円x^2+y^2=2に接する直線の方程式を求めよ。

接点がわかっていない場合は,傾きをmとおいて,とりあえず直線の式をつくります。

接線の傾きをmとすると,求める接線は,

点(3,1)を通り,傾きmの直線だから,

y-1=m(x-3)

すなわち,y=mx-3m+1 …①

となります。

ここで必殺!「点と直線の距離」公式が登場します。

点と直線の距離

点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離をdとすると,

d=\cfrac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

実は,円の中心と接線の距離は,円の半径と同じになります。

つまり「円の中心(0,0)と接線mx-y-3m+1=0の距離」=「半径」という方程式を作って解けば,mがわかって,接線が求められるという流れができあがります。

点と直線の距離の公式を使うとき,直線の式は必ずax+by+c=0の形で使います。

今回も,①の式を整理して,mx-y-3m+1=0という形に直してから使ってね。

円の中心と接線の距離は,円の半径に等しいので,

\cfrac{|m\cdot 0-0-3m+1|}{\sqrt{m^2+1^2}}=\sqrt{2}

 

両辺を\sqrt{m^2+1}倍しつつ計算して,

|-3m+1|=\sqrt{2(m^2+1)}

「絶対値」=「ルート」のときは,両辺が正の数なので,両辺を2乗しても問題ありません。

両辺を2乗して,

(-3m+1)^2=2(m^2+1) 

\Leftrightarrow 9m^2-6m+1=2m^2+2

\Leftrightarrow 7m^2-6m-1=0

\Leftrightarrow (7m+1)(m-1)=0

\therefore m=-\cfrac{1}{7},1

それぞれを①に代入して,求める接線は,

y=-\cfrac{1}{7}x+\cfrac{10}{7}y=x-2 …(答)

ここで紹介した方法ではなく,接点を(x_1,y_1)などとおいて,連立方程式をつくる方法が常套手段とされていますが,連立方程式がめんどくさいので,個人的には傾きをmと置く方法をおすすめします。

ただし,傾きをmとおく方法には,1つだけデメリットがあります。

円外の点から引いた接線は必ず2本あるので,mも2つ出てくるはずです。

しかし,問題によってはmが1つしか出てこない場合があります。

mが1つしか出ないときは,1つの接線の傾きが定義できない,つまりy軸に平行な直線になっているということです。

例えばこんな感じ。

mが1つしか求まらなかった場合は,上図の赤線のような接線が存在しているので,図を描いて示しておきましょう。

原点以外が中心の円

最もめんどうなパターンとされています。

しかし,傾きをmとおく方法を使えば,中心がどこにあってもやり方は変わりません。

例題3

点(2,4)を通り,円(x+2)^2 +(y-2)^2 =10に接する直線の方程式を求めよ。

例題2と同じように,傾きをmとおいて,接線の方程式を作ります。

接線の傾きをmとすると,求める接線は,

点(2,4)を通り,傾きmの直線だから,

y-4=m(x-2)

すなわち,mx-y-2m+4=0 …①

粗茶さん

このあと「点と直線の距離」の公式をつかうので,最初からax+by+c=0の形にしておきました。

続いて,「円の中心(-2,2)と接線mx-y-2m+4=0の距離」=「半径」という方程式を作って解けばOK。

中心の座標が原点ではなく(-2,2)になっただけで,やり方は同じです。

円の中心と接線の距離は,円の半径に等しいので,

\cfrac{|m\cdot(-2)-2-2m+4|}{\sqrt{m^2+1^2}}=\sqrt{10}

 

両辺を\sqrt{m^2+1}倍しつつ計算して,

|-4m+2|=\sqrt{10(m^2+1)}

両辺を2乗して,

(-4m+2)^2=10(m^2+1) 

\Leftrightarrow 16m^2-16m+4=10m^2+10

\Leftrightarrow 3m^2-8m-3=0

\Leftrightarrow (3m+1)(m-3)=0

\therefore m=-\cfrac{1}{3},3

m=-\cfrac{1}{3}のとき,①は,

 -\cfrac{1}{3}x-y+\cfrac{14}{3}

 \Leftrightarrow x+3y-14=0

m=3のとき,①は,

 3x-y-2=0

よって,求める接線は,

x+3y-14=03x-y-2=0 …(答)

一応,中心が原点ではない円の接線の公式というのもあるんですが…

原点以外が中心の円の接線

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2上の点(a,b)における接線の方程式は

(a-p)(x-p)+(b-q)(y-q)=r^2

覚えてもいいと思うんですが,結局接点を文字でおかないといけないので,連立方程式を解くはめになります。

べ,別にいいんだけど連立方程式でも。

まとめ

円の接線の求め方のうち,おく文字をできるだけ少なくするやり方を紹介しました。

  • 接線の傾きをmとおいて,接線の方程式をつくる。
  • 「中心と接線の距離」=「半径」で,mの方程式をつくって解く
  • mを接線の式に代入して完成
  • mが1つしか出ないときは,1つの接線がy軸に平行なので注意

数Ⅱは単元が多いので,暗記することはできるだけ少なくして,効率よく習得していきましょう!

この記事では,直線の方程式の形について,「y=mx+n型」と,「ax+by+c=0型」の2種類が混在していますが,実際のところどちらでも問題ないので,解答の流れ上,より自然な方の形を答えとしています。

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