点と直線の距離の公式の覚え方をわかりやすく!証明も紹介

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点と直線の距離」を使う状況に出くわした時、うっ,思い出せない…と思ったことはありませんか?

実は「点と直線の公式」は慣れてしまえば忘れることはなくなります。

複雑そうな式も、一つひとつの意味をしっかり押さえれば、自然と覚えられてしまうからです。

この記事では,点と直線の距離の公式の覚え方をわかりやすく説明します。

点と直線の距離は,覚えづらい割に使用頻度が高いので,しっかりマスターしていきましょう!

この記事を読むとわかること
  • 点と直線の距離公式の意味がわかる
  • 点と直線の距離公式が覚えやすくなる
  • ついでに証明のしかたもわかる
この記事を書いた人
粗茶
  • 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
  • 講師歴13年
  • 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。

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目次

点と直線の距離とは

点と直線の距離の公式とは,こちらです。

点と直線の距離

(p,q) と,直線 ax+by+c=0 の距離を d とすると,

d=\cfrac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

個人的には,数Ⅱ・Bの中で,学習者にとって「最悪」の公式だと思っています。

なぜなら点と直線の距離公式は,

  • 複雑
  • よく使う
  • 自分でつくるのが困難

という奇跡の三拍子が見事に揃っているからです。

これを文字だけで単純に暗記しても,すぐに忘れてしまいます。

要素ごとに何をやっているのかを細かく見ながら,使えるようにしていきましょう。

点と直線の距離公式を覚える

それでは,点と直線の公式を,絵描き歌風(?)に,順を追って描いていきますよ。

点と直線の距離公式を使うとき,直線の方程式は必ずax+by+c=0の形で使います。

ax+by+c=0の形になっていない場合は,変形してから公式を使いましょう。

棒が一本ありまして
下にはルート
上には絶対値
ルートの中には,xとyの係数の2乗の和
絶対値の中には,直線に点を代入したもの
あっという間に,点と直線の距離♪

順を追って見ていけば,意外と難しくないですよ!ね!(強引)。

実際に使ってみる

公式そのままの問題

具体的な例題で,距離を求めてみましょう。

例題

点(2,3)と直線5x-4y+10=0の距離を求めよ。

例題っていっても,公式に当てはめるだけなのです。

分母のルートの中には,xとyの係数の2乗の和を,分子の絶対値には直線に点を代入したものを書くよ。

解答はこちら。

\cfrac{|5\cdot 2-4\cdot 3+10|}{\sqrt{5^2+(-4)^2}}=\cfrac{8}{\sqrt{41}} …(答)

分母の有理化はしてもしなくてもいいと思います。

円の接線を求めるときに多用します

ただ距離を求めるだけでは嬉しさも少なめです。

実用としては,円の接線を求めるときによく使われます。

上の図のように,円の中心と接線の距離は,円の半径と同じになることを利用して,円の接線の問題ができます。

具体的な問題は,円の接線の記事で紹介していますので,よかったらどうぞ。

点と直線の距離公式の証明

点と直線の距離公式の証明方法はいくつかありますが,なるべく短く済む方法をやります。

(p,q)をP,Pから直線に下ろした垂線の足をHとしたときのPHの長さが出ればOK。おうちに帰れます。

粗茶さん

説明の都合上,図の向きが変わりましたが,計算は同じです。

STEP
直線の式を変形する

今回の方法の場合,直線の式をy=\cdots の形に変形します。

ax+by+c=0 \Leftrightarrow y=-\cfrac{a}{b}x-\cfrac{c}{b}

この先の計算が煩雑にならないように,一旦,

 m=-\cfrac{a}{b},n=-\cfrac{c}{b} …(*)として,

y=mx+n …①

としておきます。

STEP
相似な三角形をつくる

次に,直線x=pを引いて,①との交点をQとします。

さらに,下図のRSが1となるような場所に,①から垂線RSを引きます。

ここでできる2つの三角形は,3角が等しいので,相似です。

(△PQH∽△SQR)

STEP
PQの長さを求める

Qはx=pと①の交点なので,x座標はp,y座標は①にx=pを代入してmp+nになります。

PQの長さは,PとQのy座標の差なので,|mp+n-q|

粗茶さん

図によってはmp+nよりもqのほうが大きい場合もあるので,絶対値をつけておきましょう。

STEP
△SRQの辺の長さを求める

次に,△SRQの辺の長さを求めます。傾きに注目します。

①の傾きはmですが,これはQSの傾きでもあって,

 m=\cfrac{\rm RQ}{\rm RS}=\cfrac{\rm RQ}{1} 

 ということで,{\rm RQ}=m

 さらに三平方の定理で,{\rm SQ}=\sqrt{m^2+1^2}

STEP
相似比からPHを求める

△PQH∽△SQR より,

 {\rm PH:SR=PQ:SQ}

{\rm PH}=\cfrac{\rm PQ\cdot SR}{\rm SQ}

   =\cfrac{|mp+n-q|\cdot 1}{\sqrt{m^2+1}}

   =\cfrac{|mp+n-q|}{\sqrt{m^2+1}}

STEP
mとnをもとにもどして完成

(*)より,m=-\cfrac{a}{b},n=-\cfrac{c}{b} だったので,これらを代入して,

 {\rm PH}=\cfrac{\left|-\cfrac{a}{b}\cdot p-\cfrac{c}{b}-q\right|}{\sqrt{\left(-\cfrac{a}{b}\right)^2+1}}

   =\cfrac{\left|\cfrac{a}{b}\cdot p+q+\cfrac{c}{b}\right|}{\sqrt{\cfrac{a^2}{b^2}+1}}

粗茶さん

絶対値の中身にマイナスをかけても,全体の値は変わりません。

最後に分母と分子をb倍して,

 {\rm PH}=\cfrac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

できました!!

道のりは長いですが,おそらくこれが計算量が最も少なくてできる方法だと思います。

もし機会があれば,ぜひご採用ください。

点と直線の距離 まとめ

この記事では,点と直線の距離の公式の覚え方と,証明を紹介しました。

点と直線の距離の公式は,基本的に暗記でいくしかありません。

自分で求めるのはかなり困難ですからね。

点と直線の距離の覚え方のポイントをおさらいしておくと,

  • 直線の式はax+by+c=0の形
  • 分母はルート,分子は絶対値
  • 分母にはxとyの係数の2乗の和
  • 分子には点を代入したもの

でした。

きちんと言葉で覚えるようにしておくと,忘れにくいですよ!

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安定の坂田先生です。

 

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