数学の問題の解答で突然，
相加・相乗平均の大小により…
って出てきて，
学生の方なんで急に相加相乗平均なの？
って疑問に思ったことはありませんか？
実は，相加・相乗平均の大小関係を使うタイミングは決まっていて，
２つの正の数の和の最小値を求めるとき
に使うことがほとんどです。
この記事では，相加・相乗平均の大小関係の使い時と使い方を，実際の例題を交えて解説していきます。
この記事を読むと，相加・相乗平均の使い方はもちろん，使える状況を見抜く目を養うことができます。
苦手な人が多い相加・相乗平均。使い時を見極めて，周りを一歩リードしちゃいましょう！
- 相加・相乗平均の関係の使い時と使い方がわかる
- 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
- 講師歴13年
- 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
相加・相乗平均とは
まずは相加・相乗平均とは何か説明します。
相加平均とは
相加平均は，いくつかの数を足し合わせて，その個数で割ったものです。
いわゆる一般的な平均のことです。
今回は，2つの数を扱うので，相加平均は次の式になります。
2つの数◯，△の相加平均は，
\cfrac{◯+△}{2}2つを足して2で割るということです。
学生の方平均って，これしかないんじゃないの？
粗茶さん日常生活ではあまり見かけませんが，別の平均もあるんですなあ。
相乗平均とは
相乗平均とは，正の数をかけあわせて，n乗根をしたものです。
学生の方n乗根ってなに？
粗茶さん数Ⅱを習っていない人は知らないかもしれないですね。2個の数の場合は普通のルートのことなので，とりあえず次の形で覚えておいてください。
2つの正の数◯，△の相乗平均は，
\sqrt{◯\times△}2つをかけてルートをつけると，相乗平均です。
相乗平均は，変化率（人口増加率など）の平均を求めるときなどに使われています。
詳細は本記事の本筋と離れていくので，またの機会にお話します。
相加・相乗平均の関係とは
相加平均と相乗平均を比べると，
\cfrac{◯+△}{2}\geqq \sqrt{◯\times△}という大小関係があります。
相加平均は，相乗平均より大きいか，等しいんですね。
実際の問題で使う場合は，両辺を2倍した形が便利なので，次のように覚えましょう。
◯>0，△>0のとき，
◯+△\geqq 2\sqrt{◯\times△}等号は，◯=△で成立。
なお，◯と△は正の数でないと成り立たないことにも注意しましょう。
相加・相乗平均の大小関係の証明
◯をa，△をbとすると，
a+b=2\sqrt{ab}（等号はa=bで成立）になるので，これを証明します。
\begin{array}{ll}
&(左辺)^2-(右辺)^2\\\\
=&(a+b)^2-(2\sqrt{ab})^2\\\\
=&a^2+2ab+b^2-4ab\\\\
=&a^2-2ab+b^2\\\\
=&(a-b)^2\geqq 0\\\\
\therefore&(a+b)^2\geqq (2\sqrt{ab})^2\\\\
\end{array}\begin{array}{c}
a+b>0，2\sqrt{ab} なので，\\\\
a+b\geqq 2\sqrt{ab}
\end{array}
\begin{array}{ll}
&等号は，\\\\
&(a-b)^2=0\\\\
\Leftrightarrow&a-b=0\\\\
\therefore&a=b\\\\
&で成立する。
\end{array}相加・相乗平均は，「2つの正の数の和の最小値」を求めるときに使う
学生の方相加・相乗平均って，結局いつ使うの？
相加・相乗平均の大小関係を使うタイミングは，これです。
相加・相乗平均の大小関係は，
２つの正の数の和の最小値を求めるときに使う！
2つの正の数は，かけると文字が消えるもの
具体的な問題をやってみましょう。
a>0のとき，
a+\cfrac{4}{a}の最小値と，そのときのaの値を求めよ。
a>0より，\cfrac{4}{a}>0でもあるので，２つの正の数の和になっています。
さらに最小値を求める問題ということで，相加・相乗平均が使える条件を満たしています。
◯+△\geqq 2\sqrt{◯\times△}の，◯にa，△に\cfrac{4}{a}を当てはめましょう。
相加・相乗平均の大小関係により，
\begin{array}{l}
a+\cfrac{4}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \cfrac{4}{a}}
\end{array}粗茶さん右辺はaが約分できて，2\sqrt{4}=4
\begin{array}{l}
\therefore a+\cfrac{4}{a}\geqq 4
\end{array}a+\cfrac{4}{a}は4以上である。ということは示せました。
学生の方4以上ってことは，最小値は4でOK？
4以上だからといって，最小値が4になるとは限らないのです。
例えば，3人の子どもがいて，5歳，6歳，7歳だったとします。
「3人とも4歳以上ですか？」
と聞かれたら，間違いなく4歳以上です。
でも，「最年少は4歳ですか？」
と聞かれたら，最年少は5歳なので，間違いになります。
つまり，全員が4歳以上であることと，最小値が4歳であることは，同じではないのです。
話を戻しましょう。
a+\cfrac{4}{a}\geqq 4だとわかったあとに，a+\cfrac{4}{a}の最小値が4であることを示すためには，
a+\cfrac{4}{a}=4になるaがあるかどうかを求める必要があります。
いわゆる等号成立条件ですね。
学生の方あー，めっちゃ聞いたことあるけどいつも適当にしてるやつやー
相加・相乗平均の大小関係の式については，等号成立条件は「◯＝△」だとわかっているので，あてはめて簡単にすればOK。
等号は，
\begin{array}{l}
a=\cfrac{4}{a} \Leftrightarrow a^2=4\\\\
a>0より，\\\\
a=2 で成立。
\end{array}粗茶さんつまり，最小値4をとるaは2ということ。
よって，a=2のとき，最小値4…(答)
相加・相乗平均が使える問題であることを見抜くことができれば，あとは公式に当てはめればできてしまいます。
積の形は展開してから
少し見かけがかわりますが，こちらも相加・相乗平均を使う問題です。
a>0，b>0のとき，
\left(a+\cfrac{4}{b}\right)\left(b+\cfrac{2}{a}\right)の最小値を求めよ。
展開してみましょう。
\begin{array}{l}
\left(a+\cfrac{4}{b}\right)\left(b+\cfrac{2}{a}\right)={\color{red}ab+\cfrac{8}{ab}}+6\\\\
\end{array}ここで，右辺の{\color{red}ab+\cfrac{8}{ab}}に注目。
a>0，b>0より，ab>0，\cfrac{8}{ab}>0なので，2つの正の数の和になっている。
やはり，最小値になっているので，相加・相乗平均は使える条件を満たしています。
再び，
◯+△\geqq 2\sqrt{◯\times△}の，◯にab，△に\cfrac{8}{ab}をあてはめます。
相加・相乗平均の大小関係により，
\begin{array}{l}
ab+\cfrac{8}{ab}\geqq 2\sqrt{ab\cdot \cfrac{8}{ab}}
\end{array}粗茶さん右辺はaが約分できて，2\sqrt{8}=4\sqrt{2}
\begin{array}{l}
\therefore ab+\cfrac{8}{ab}\geqq 4\sqrt{2}
\end{array}元の問題は，+6がついているので，両辺に6をたして，
ab+\cfrac{8}{ab}+6\geqq 4\sqrt{2}+6ということで最小値は4\sqrt{2}+6になりそうです。
あとは等号成立条件。「◯＝△」を解きます。
等号は，
\begin{array}{l}
ab=\cfrac{8}{ab} \Leftrightarrow (ab)^2=8\\\\
ab>0より，\\\\
ab=2\sqrt{2} で成立。
\end{array}よって，ab=2\sqrt{2}で，最小値4\sqrt{2}+6 …(答)
２つの正の数の和（かけると文字が消える）の最小値を求める問題で，相加・相乗平均を使うことができます。
他の分野の問題の中にさりげなく登場することが多いので，気付けるかどうかは簡単ではないですが，そこは経験がモノを言うことになるでしょう。
おまけ：3つ以上の数の相加相乗平均でも同様に成り立つ
多くの場合，２つの数の相加・相乗平均を使いますが，
３つ以上の数の相加・相乗平均も同様の大小関係があります。
x_1>0，x_2>0，\cdots，x_n>0のとき，
\cfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\geqq \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}等号は，x_1=x_2=\cdots =x_nで成り立つ
証明はレベルが高いのでここでは省略しますが，3つ以上の数についても（相加平均）\geqq（相乗平均）が成り立つことが知られています。
粗茶さん私も問題で出会ったことはほとんどないので，参考程度に…
相加・相乗平均は使いどころの見極めが大切！
この記事では，相加・相乗平均の大小関係の使い時と使い方を説明しました。
相加・相乗平均は，２つの正の数の和の最小値を求めるときに使います。
また，相加・相乗平均を使って和の最小値を求める際には，
- 正の数の和であること
- 最後に等号成立条件を考える
という点に気をつけましょう。
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