【場合の数】P(順列)とC(組合せ)の違いと計算方法をわかりやすく解説!

当サイトはアフィリエイト広告を利用しています。

学生の方

PとCってあるじゃん?いつもどっちを使えばいいかわかんなくなるんだよね…

数Aの「場合の数」で登場する_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ),

問題によって使い分けができなくて悩んでいませんか?

実はPとCの違いは非常にシンプルです。

PとC
  • _nP_r…異なるn個のものからr個を取り出して,1列に並べる並べ方の総数
  • _nC_r…異なるn個のものからr個を取り出す,取り出し方の総数(順番は考えない)

実は,異なるn個のものからr個を取り出すところまでは同じで,

そのあと並べるか並べないかの違いでしかありません。

この記事では,「場合の数」を学習する上で基本となる_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ)の違いと計算方法をわかりやすく解説していきます。

この記事を読むとわかること
  • 場合の数で使う_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ)の違いと計算方法がわかる
この記事を書いた人

粗茶

  • 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
  • 講師歴14年
  • 14年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
目次

階乗は,自然数を全部かけたもの

順列と組み合わせを語る前に,重要な計算である階乗について紹介します。

階乗

自然数を1からnまで全部かけあわせたものnの階乗といい,

n!

と書きます。

「1からnまで」と書きましたが,ふつうは大きい方から順にかけるので,

例えば,「5の階乗」は,

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120

となります。

階乗の値はある程度覚えていると便利なので,一覧にしておきます。

覚えておくと便利な階乗の値
\begin{array}{l}
0!=1\\\\
1!=1\\\\
2!=2\cdot 1=2\\\\
3!=3\cdot2\cdot 1=6\\\\
4!=4\cdot3\cdot2\cdot 1=24\\\\
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot 1=120\\\\
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot 1=720\\\\
\end{array}

7!より先はあまり使わないので,その都度計算すればいいと思います。

粗茶さん

6!までの値も,その都度計算すればいいっちゃ,いい。

学生の方

0の階乗はどうして1なの?

さりげなく書いてしまいましたが,0の階乗は1であると定義されています。

理由は,そうしておくと何かと都合がいいから,です。

粗茶さん

定義なので,ここは我慢して覚えましょう…

P(順列)は,取り出したものを並べる

それではここからは,_nP_r(順列)について説明していきます。

Pの定義

_nP_r(順列)の定義は次のようになります。

順列

異なるn個のものからr個を選んで,一列に並べる並べ方(順列という)の総数を_nP_rと表し,次のように計算する。

文字で書かれると分かりづらいと思うので,具体的な問題をやってみましょう。

例題1

上のように,A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。

この5枚の中から3枚を選んで1列に並べる並べ方の総数を求めなさい。

異なる5個から3個を選んで,並べるので,

_5P_3になります。

5から始めて3回かければいいので,

_5P_3=5\cdot 4\cdot 3=60

よって60通り

という感じで,取り出して「並べる」工程が入っている場合はPを使います。

Pの意味

学生の方

どうしてこの計算になるの?

それでは,先程の例題1をPを使わずに考えてみましょう。

5枚のカードから1枚ずつ選んで,左から順に並べていきます。

まず,左端のカードを選びます。選び方は5通り。

それぞれに対して,真ん中のカードの選び方が4通り(すでに1枚選ばれているため)。

それぞれに対して,右端のカードの選び方が3通り(すでに2枚選ばれているため)。

よって,並べ方の総数は

5\cdot 4\cdot 3=60

つまり60通り

たしかに,_5P_3と同じ計算になりましたね。

このように順列の総数は,かんたんな掛け算で計算できるので,

無理してPで表現しなくても,掛け算でやってしまえばいい。

と,個人的には思っています。

粗茶さん

ただ,問題集の解説にPが使われていることが多いので,意味はわかっておこう。

全部並べるときは階乗を使う

順列の問題ですが,先ほどと少しだけ違います。

例題2

A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。

この5枚のカードを1列に並べる並べ方の総数を求めなさい。

例題1と違って,「3枚取り出す」という手順がなくなりました。

つまり,5枚を全部並べることになります。

5枚全部を並べる場合でも,「異なる5枚の中から5枚を選んで並べる」と考えれば,Pを使うことができます。

求める並べ方は,

_5P_5=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120

よって120通り

これ,どこかで見たことありますよね?

そう,5の階乗と同じなんです。

粗茶さん

5から始めて5個かけるということは,5から1までかけるってことだからね。

Pの前後の数字が同じ場合は,階乗の計算になります。

Pと階乗
_nP_n=n!

一部を取り出さずに,全部並べるときは,Pの形を書かずに,最初から階乗でいきましょう。

C(組合せ)は,取り出すだけ

続きまして,_nC_r(組合せ)について説明していきます。

まずは定義から。

Cの定義

_nC_r(組合せ)の定義は次のようになります。

順列

異なるn個のものからr個を選ぶ選び方の総数を_nC_rと表し,次のように計算する。

_nP_rr!で割ると,_nC_rになる。という関係があります。

例題3

A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。

この5枚の中から3枚を選ぶ,選び方の総数を求めなさい。

5枚から3枚を選びますが,並べることはしません。

選ぶだけで並べない場合は,Cを使いましょう

異なる5個から3個を選ぶので,_5C_3です。

求める選び方の総数は,

_5C_3=\cfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot2\cdot 1}=10

よって,10通り

Cの計算は,Pのように掛け算で代用できないので,しっかり覚えましょう

Cで組合せが求められる理由

学生の方

Pをr!で割るとCになるのはどうして?

_nC_r=\cfrac{_nP_r}{r!}になる理由が気になるアナタのために,ざっくりと説明しておきましょう。

例題で扱った5枚のカードで考えてみます。

例題の状況

5枚から3枚を取り出す組合せは_5C_3通りでした。

例えばこの中には(A,B,C)という組が存在します。

順番を考えない(_5C_3)ときは,(A,B,C)は1つの組でしかありません。

しかし,順番を考える順列(_5P_3)の場合は,1つの組(A,B,C)に対応する並び方が3!通り存在します。

これは(A,B,D)とか(C,D,E)とか,別の組についても同様です。

1つの組合せに対して,対応する並び替えが3!通りずつあります。

_5C_33!倍すると,_5P_3になる。つまり,

_5C_3\times 3!=_5P_3

となるので,両辺を3!で割って,

_5C_3=\cfrac{_5P_3}{3!}

となります。

粗茶さん

具体例で説明しましたが,一般の_nC_rについても成り立ちます。

Cの性質

組合せを表す_nC_rには,いくつかの重要な性質があります。

Cの性質
\begin{array}{l}
(1)_nC_0=1\\\\
(2)_nC_n=1\\\\
(3)_nC_r=_nC_{n-r}
\end{array}

順に説明していきます。

(1)_nC_0=1

_nC_0は,「n個から0個を選ぶ選び方」ですが,

0個を選ぶということは,「何も選ばない」という1通りしかないので,

_nC_0=1 となります。

(2)_nC_n=1

_nC_nは,「n個からn個を選ぶ選び方」。

これもやはり「n個全部を選ぶ」という1通りしかないので,

_nC_n=1 となります。

(3)_nC_r=_nC_{n-r}

具体的に考えてみます。

n=5r=2とすると,

_5C_2=_5C_3 です。

例えば,5人の応募者から合格者2人を選ぶ選び方は_5C_2通り。

一方,5人の応募者から不合格者3人を選ぶ選び方は_5C_3通り。

一見ちがって見えますが,結果として起こる状況って,同じですよね。

2人が合格して,3人が不合格。

実際に計算すればわかりますが,_5C_2_5C_3は同じ値になります。

この性質を利用して,

Cの右下の数をなるべく小さくしたほうが,計算が楽になりますよ。

計算の例

_{99}C_{97}の場合,

_{99}C_{97}=\cfrac{99\cdot 98\cdots3}{97\cdot 96\cdots 1}

は,やってられないので,

_{99}C_{97}=_{99}C_{2}=\cfrac{99\cdot 98}{2\cdot 1}=99\cdot49=4851 

ってやりましょう。

PとCの違いは「並べるか,並べないか」。

この記事では,P(順列)とC(組合せ)について,これらの違いと計算方法を紹介しました。

ざっくりまとめると,

PとCまとめ
  • P(順列)はn個のものからr個選んで並べる方法の数。基本的には掛け算で代用。
  • C(組合せ)は、n個からr個を選ぶだけの方法の数。計算方法は覚えること。

順列は「取り出して並べる」、組合せは「取り出すだけ」という違いをしっかりと理解して、場合の数の問題に自信を持って取り組みましょう。

特にCの計算は、場合の数や確率の単元で非常によく使われるので、しっかりマスターしておきましょう!

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

CAPTCHA


目次