学生の方データの分析で「xが10倍になったら平均とか分散がどうなるか」みたいな問題がとくでてくるんだけど，毎回考えないといけないの？
変量（xなど）を何倍かしたり何かを足したりすることを変量の変換といいます。
例えばこんな状況など。
- テストの採点が間違っていたので全員5点足した。
- 長さの値をkmからmの表示に変える（数字は1000倍になる）
- 気温の観測値を摂氏から華氏に変える（摂氏の気温を1.8倍して32を足すと華氏になる）
このように変換してつくった新たな変量について，平均・分散・標準偏差・共分散・標準偏差が，変換前の値からどのように変化するのか？を問う問題が非常によく出題されます。
だからといって，毎回考えて答えを求めていては時間がかかりすぎます。
この記事では，変量の変換が行われたあとの平均・分散・標準偏差・共分散・相関係数がどのように変化するかを，仕組みとともに一気に説明します。
これさえ読めば，変量の変換はもう怖くない！！
- 変量を変換した後の平均・分散・標準偏差・共分散・相関係数の求め方がわかる。
- 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
- 講師歴13年
- 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
変量の変換公式
それでは，変量の変換を行ったとき，平均などの値がどのように変化するのか，順に紹介していきましょう。
ax+bの平均
まずは平均です。
変量xに対して新しい変量u=ax+bを定める。
uの平均を\overline{u}，xの平均を\overline{x}とすると，
\large \overline{u}=a\overline{x}+b全員の点数が2倍になれば平均も2倍になるし，全員の点数が5点上がれば平均も5点上がるので，感覚的にも理解しやすいかと思います。
（証明）
\begin{array}{lll}
\overline{u}&=&\cfrac{1}{n}(u_1+u_2+\cdots+u_n)\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\{(ax_1+b)+(ax_2+b)\cdots+(ax_n+b)\}\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\{a(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb\}\\\\
&=&a\cdot\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}+\cfrac{nb}{n}\\\\
&=&a\overline{x}+b
\end{array}学生の方これはまあ，そうだろうなって感じ。
ax+bの分散
続いて分散です。平均とは違って少し違和感があるかも？
変量xに対して新しい変量u=ax+bを定める。
uの分散を{S_u}^2，xの分散を{S_x}^2とすると，
\large {S_u}^2=a^2{S_x}^2学生の方あれ，bはどこ！？
変量の変換で分散に影響するのは「何倍になったか」だけであり，「何を足したか」は分散に影響を与えません。
そのしくみを説明しておきます。
そもそも分散というのは，データの散らばり具合を表すものでしたね。
n個の値x_1,x_2,\cdots,x_nの平均を\overline{x}とすると，分散{S_x}^2は，
{S_x}^2=\cfrac{1}{n}\left\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2\right\}これをuに置き換えて計算してみましょう。
uの平均がa\overline{x}+bであることも利用しますよ。
（証明）
\begin{array}{lll}
{S_u}^2&=&\cfrac{1}{n}\left\{(u_1-\overline{u})^2+(u_2-\overline{u})^2+\cdots+(u_n-\overline{u})^2\right\}\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\left[\{(ax_1+b)-(a\overline{x}+b)\}^2+\{(ax_2+b)-(a\overline{x}+b)\}^2+\cdots+\{(ax_n+b)-(a\overline{x}+b)\}^2\right]\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\left[\{a(x_1-\overline{x})\}^2+\{a(x_2-\overline{x})\}^2+\cdots+\{a(x_n-\overline{x})\}^2\right]\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\left\{a^2(x_1-\overline{x})^2+a^2(x_2-\overline{x})^2+\cdots+a^2(x_n-\overline{x})^2\right\}\\\\
&=&a^2\cdot\color{red}\cfrac{1}{n}\left\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2\right\}\\\\
&=&a^2\color{red}{S_x}^2
\end{array}uと\overline{u}の両方に+bがついているので，引き算されるとbが消えてしまうというしくみになっているのです。
学生の方これはちゃんと覚えておかないと間違えそうだ。
ax+bの標準偏差
お次は標準偏差。これも一つ注意点が。
変量xに対して新しい変量u=ax+bを定める。
uの標準偏差をS_u，xの標準偏差をS_xとすると，
\large S_u=|a|S_x
学生の方え，絶対値ってどういうこと！？
標準偏差は分散にルートをつけたものなので，aS_xでいいんじゃないのかな？と思いそうですが，
ルートをつけるときに忘れてはいけない事実がありました。
\sqrt{a^2}=\left\{\begin{array}{ll}a&(a\geqq 0のとき)\\\\-a&(a<0のとき)\end{array}\right.つまり，
\large \sqrt{a^2}=|a|なにかの2乗のルートは，その数が負の可能性も考えて，絶対値がつくと覚えておきましょう。
この性質も利用しながら，標準偏差の証明です。
（証明）
\begin{array}{lll}
S_u&=&\sqrt{{S_u}^2}\\\\
&=&\sqrt{a^2{S_x}^2}\\\\
&=&\sqrt{a^2}\sqrt{{S_x}^2}\\\\
&=&|a||S_x|
\end{array}ここで，標準偏差S_xは常に正であることから|S_x|=S_x，一方aは正の場合も負の場合もあるので，絶対値はついたまま。よって，
S_u=|a|S_x
となる。
ということで，標準偏差は|a|倍になります。
ax+bとcx+dの共分散
ここからは2つの変量を扱います。まずは共分散。
変量xに対して新しい変量u=ax+b，変量yに対して新しい変量v=cx+d定める。
uとvの共分散をS_{uv}，xとyの共分散をS_{xy}とすると，
\large S_{uv}=acS_{xy}学生の方やっぱりbとdは関係なくなるのね。
分散のときと同様で、共分散においても「何倍になったか」だけが影響します。
共分散というのは、分散の変量バージョンという感じでしょうか。
xの平均を\overline{x}，yの平均を\overline{y}とすると，n組の値(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)の共分散は、
S_{xy}=\cfrac{1}{n}\left\{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\right\}これをuとvに置き換えてやってみましょう。
（証明）
\begin{array}{lll}
S_{uv}&=&\cfrac{1}{n}\left\{(u_1-\overline{u})(v_1-\overline{v})+\cdots+(u_n-\overline{u})(v_n-\overline{v})\right\}\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\left[\{(ax_1+b)-(a\overline{x}+b)\}\{(cy_1+d)-(c\overline{y}+d)\}+\cdots+\{(ax_n+b)-(a\overline{x}+b)\}\{(cy_n+d)-(c\overline{y}+d)\}\right]\\\\
&=&\cfrac{1}{n}\left\{a(x_1-\overline{x})c(y_1-\overline{y})+\cdots+a(x_n-\overline{x})c(y_n-\overline{y})\right\}\\\\
&=&ac\cdot{\color{red}\cfrac{1}{n}\left\{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\right\}}\\\\
&=&ac\color{red}S_{xy}
\end{array}変換された変量の共分散は、もとのac倍になるんですね。
ax+bとcy+dの相関係数
最後に相関係数です。
変量xに対して新しい変量u=ax+b，変量yに対して新しい変量v=cx+d定める。
uとvの標準偏差をr_{uv}，xとyの標準偏差をr_{xy}とすると，
\large
\left\{
\begin{array}{ll}
ac> 0のとき，&r_{uv}=r_{xy}\\\\
ac<0のとき，& r_{uv}=-r_{xy}
\end{array}
\right.学生の方あれ，aとcも無くなった！
相関係数は，2つの変量が比例関係にあるかどうかの度合いを表す指標です。
x，yの標準偏差をそれぞれS_x，S_y，xとyの共分散をS_{xy}とすると，xとyの相関係数は，
r_{xy}=\cfrac{S_{xy}}{S_xS_y}相関係数は必ず-1以上1以下の値をとり，1に近いほど正の相関（xが大きいほどyも大きい傾向）が強く，-1に近いほど負の相関（xが大きいほどyが小さい傾向）が強くなります。
元の変量が何倍されていても相関係数が-1以上1以下の値をとることには変わりがないので，新しい変量の相関係数は，基本的には元の相関係数と同じになります。
ただし，acが負の場合は，相関係数の符号が逆になることだけは注意しましょう。
（証明）
\begin{array}{lll}
r_{uv}&=&\cfrac{S_{uv}}{S_uS_y}\\\\
&=&\cfrac{acS_{xy}}{|a|S_x|c|S_y}\\\\
&=&\cfrac{ac}{|ac|}\color{red}\cfrac{S_{xy}}{S_xS_y}\\\\
&=&\cfrac{ac}{|ac|}\color{red}r_{xy}
\end{array}ここで，ac>0ならば，|ac|=acなので，
r_{uv}=\cfrac{ac}{|ac|}r_{xy}=\cfrac{ac}{ac}r_{xy}=r_{xy}ac<0ならば，|ac|=-acなので，
r_{uv}=\cfrac{ac}{|ac|}r_{xy}=\cfrac{ac}{-ac}r_{xy}=-r_{xy}学生の方相関係数は，acの符号だけ気にしていればいいから楽そうだね。
まとめ
この記事では，変量の変換（数字を足したりかけたり）をした場合に，平均・分散・標準偏差・共分散・相関係数がどのように変化するかを紹介しました。
まとめておくと、こうなりました。
xをax+b（a倍してb足した）にした場合，
- 平均もa倍になってb増える。
- 分散はa^2倍になる。
- 標準偏差は|a|倍になる。
さらにyをcy+dにした場合，
- 共分散はac倍。
- 相関係数は，ac>0なら変わらず，ac<0なら-1倍。
変量の変換は共通テストの問題で頻出。
難しそうに見えても，公式を知っていれば一瞬で答えを選ぶことができます。
かなりの時間短縮になるので，ぜひ覚えておきましょう。
さらに導出過程も知っておくと，暗記の助けになるだけでなく，忘れたときに自力で求めることもできるのでおすすめです！
このブログでは，自分で勉強しているとき，つまづきやすいポイントを解説。
「かゆいところに手が届く」情報を発信しています。
自分で勉強する際にオススメの参考書や，勉強が楽しくなる文房具も紹介していますので，よろしければご覧ください！
コメント