2次不等式「解なし」も「すべての実数」も,すべて平方完成で解決!

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学生の方

2次不等式って,因数分解のときは簡単にできるんだけど,たまに出てくる「解なし」とか「解はすべての実数」になるのが,意味わからん。

2次不等式の問題で「解なし」とか「解はすべての実数」とか「a以外のすべての実数」とか,特殊なパターンになるものが出てくると,手も足も出ない…そんなお悩みはありませんか?

実は,どんな2次不等式でも「平方完成」を使えば解けてしまいます

特に,「解なし」とか「解はすべての実数」のような特殊なパターンのときに,平方完成が力を発揮します。

この記事では,2次関数を平方完成を用いて解く方法を,さまざまなパターンごとに説明します。

この記事を読めば,どんな形の2次方程式が出ても,もう怖くない!

学生の方

平方完成も苦手なんですが…

粗茶さん

平方完成の手順も説明するので,大丈夫ですよ!

この記事を読むとわかること
  • 平方完成の手順がわかる
  • 2次不等式を平方完成で解く方法がわかる
  • 「解なし」「解はすべての実数」のようになる2次方程式も,平方完成を使うとシンプルに解ける
この記事を書いた人

粗茶

  • 文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
  • 指導歴14年
  • 数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。

数学の問題集の進め方について、noteでも発信しています。よろしければご覧ください!

目次

平方完成とは

平方完成とは,一般的に,

ax^2+bx+c

の形の式を,

a(x-p)^2+q

の形に変形することをいいます。

粗茶さん

a\neq 0です。

平方完成は,2次関数のグラフを描くときに必要になる変形なので,手順をしっかり身につけましょう。

平方完成の手順

平方完成の手順を,具体例を使って説明します。

例1

2x^2-4x+5を平方完成する

STEP
2次の係数で最初の2項をくくる

x^2の係数があるときは,x^2の係数で最初の2項(x^2xの項)をくくります。

\begin{array}{ll}
&2x^2-4x+5\\\\
=&2\{x^2-2x\}+5
\end{array}
粗茶さん

見やすくするために中括弧を使っていますが,普通の括弧でもいいです。

STEP
カッコ内で次の変形をする

図のように変形します。

展開してもとに戻ることを確認するといいです。

STEP
外のカッコを外して完成

最後に外のカッコ(中括弧)を外して完成です。

\begin{array}{ll}
&2\{(x-1)^2-1^2\}+5\\\\
=&2(x-1)^2-2+5\\\\
=&2(x-1)^2+3
\end{array}
例2

x^2+3x+1を平方完成する

x^2の係数が1のときは,手順が少なくなります。

STEP
2次の係数で最初の2項をくくる

今回はx^2の係数が1なので,あえてくくらなくてもいいですが,わかりやすいようにくくっておきます。

\begin{array}{ll}
&x^2+3x+1\\\\
=&\{x^2+3x\}+1
\end{array}
STEP
カッコ内で次の変形をする
STEP
外のカッコを外して完成
\begin{array}{ll}
&\left\{\left(x+\cfrac{3}{2}\right)^2-\left(\cfrac{3}{2}\right)^2\right\}+1\\\\
=&\left(x+\cfrac{3}{2}\right)^2-\left(\cfrac{3}{2}\right)^2+1\\\\
=&\left(x+\cfrac{3}{2}\right)^2-\cfrac{5}{4}\\\\
\end{array}
粗茶さん

xの係数が奇数のときは分数が出てくるので,計算がやや複雑になります。

例3

-3x^2+2x+4を平方完成する

x^2の係数が負のときは,符号を間違えやすいですが,手順を守れば大丈夫!

STEP
2次の係数で最初の2項をくくる
\begin{array}{ll}
&-3x^2+2x+4\\\\
=&-3\left\{x^2-\cfrac{2}{3}x\right\}+4
\end{array}
STEP
カッコ内で次の変形をする
STEP
外のカッコを外して完成
\begin{array}{ll}
&-3\left\{\left(x-\cfrac{1}{3}\right)^2-\left(\cfrac{1}{3}\right)^2\right\}+4\\\\
=&-3\left(x-\cfrac{1}{3}\right)^2+3\cdot\left(\cfrac{1}{3}\right)^2+4\\\\
=&-3\left(x-\cfrac{1}{3}\right)^2+\cfrac{13}{3}
\end{array}
粗茶さん

今は説明用に細かく途中式を書いていますが,慣れたら省略してもOK。

2次不等式を平方完成を使って解く

それでは,2次不等式を平方完成で解いてみます。

準備として,以下の基本的な形をおさえておきましょう。

2次不等式の基本

a\geqq 0のとき,

\left\{
\begin{array}{l}
x^2>a \Leftrightarrow x <-\sqrt{a},\sqrt{a} < x\\\\
x^2< a \Leftrightarrow -\sqrt{a}< x < \sqrt{a}
\end{array}
\right.
粗茶さん

2次方程式のノリで
x<\pm a
みたいな書き方はしない(というより意味がわからない)ので,注意しましょう。

因数分解できるときは,因数分解でしょうね。

例題1

xの不等式

x^2-x-6<0

を解け。

左辺が因数分解できるので,一般的には因数分解を使います。

【一般的なやりかた】

\begin{array}{rcl}
x^2-x-6 &<&0\\\\
(x+2)(x-3)&<&0
\end{array}
\therefore -2< x<3 \cdots(答)

あえて平方完成を用いて解くと,次のようになります。

【平方完成を使うやりかた】

\begin{array}{rcl}
x^2-x-6 &<&0\\\\
\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2-\cfrac{1}{4}-6&<&0\\\\
\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2&<&\cfrac{25}{4}\\\\
\end{array}

よって,

\begin{array}{c}
-\cfrac{5}{2}< x-\cfrac{1}{2}<\cfrac{5}{2}\\\\\\
\therefore -2< x<3
\end{array}
学生の方

いやいやいや,こんな風に解く人いないでしょ。

粗茶さん

因数分解できるときは平方完成する必要はありません。
そちらのほうが圧倒的に楽ですからね。
平方完成でもできるということをわかってもらえればOK。

解の公式が必要なケースは,平方完成のほうが解答が書きやすいかも

例題2

xの不等式

x^2+5x+2\geqq 0

を解け。

これは左辺が因数分解できません。

解の公式で「=0」の解を求めるやり方が一般的でしょうか。

【一般的なやり方】

x^2+5x+2=0

を解の公式で解くと,

x=\cfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\cfrac{-5\pm\sqrt{17}}{2}

なので,不等式は,

x\leqq \cfrac{-5-\sqrt{17}}{2},\cfrac{-5+\sqrt{17}}{2} \leqq x

これは,平方完成でやったほうが書きやすいかも。

【平方完成を使うやり方】

\begin{array}{rcl}
x^2+5x+2\geqq 0\\\\
\left(x+\cfrac{5}{2}\right)^2-\cfrac{25}{4}+2\geqq 0\\\\
\left(x+\cfrac{5}{2}\right)^2\geqq\cfrac{13}{4}\\\\
x+\cfrac{5}{2}\leqq-\cfrac{\sqrt{13}}{2},\cfrac{\sqrt{13}}{2}\leqq x+\cfrac{5}{2}\\\\
\therefore x\leqq\cfrac{-5-\sqrt{13}}{2},\cfrac{-5+\sqrt{13}}{2}\leqq x
\end{array}
学生の方

途中で日本語が入らなくてもいけるところは認めますが,短くなってはいない…

今の例のように,答えが分数になるときは,あまり恩恵を感じられませんが,

二次関数の問題で,最初に平方完成で頂点を求める問題があって,そのあとに不等式を解かせるようなパターンの場合は,有効だと思います。

粗茶さん

状況に応じて使い分けることが大事!

「解なし」「すべての実数」などになるパターンも暗記せずに解く

「左辺=0」の解が異なる2つの実数にならない場合は,不等式の解が「解なし」とか「すべての実数」とか,特殊な形になります。

学生の方

「解なし」とか「すべての実数」とか,表になっているのを習ったんだけど,多すぎて覚えられないっす。

表というのは,これです。

不等式だけでも8パターンもあるので,覚えるのはほぼ不可能といえます。

このような状況でも,平方完成して解く方法ならば,暗記せずに解くことができます。

ここで次の事実を確認しておきたい!!

2乗は0以上

aが実数のとき,常に,

\Large{a^2\geqq 0}

実数の2乗は必ず0以上」ですね。

言い換えれば,「2乗して負になる実数は存在しない」ということになります。

「2乗は0以上」の性質を使って,特殊パターンの不等式を解いていきます。

例題3

xの不等式

x^2-10x+25<0

を解け。

左辺を平方完成して,

(x-5)^2<0\cdots①

(x-5)^2は0以上なので,

①を満たす実数xは存在しない。

以上より,実数解はない…(答)

例題4

xの不等式

9x^2-6x+1\leqq 0

を解け。

左辺を平方完成して,

(3x-1)^2\leqq 0\cdots②

(3x-1)^2は0以上なので,

②が成り立つのは(3x-1)^2=0のみ。よって,

\begin{array}{l}(3x-1)^2=0\\\\
3x-1=0\\\\
\therefore x=\cfrac{1}{3}\cdots(答)
\end{array}
例題5

xの不等式

x^2-6x+11>0

を解け。

左辺を平方完成して,

\begin{array}{l}
(x-3)^2-9+11>0\\\\
(x-3)^2>-2\cdots③
\end{array}

(x-3)^2は必ず0以上。

ということはもちろん,必ず-2よりも大きい。

よって,すべてのxで③が成り立つ。

よって,解はすべての実数…(答)

例題6

xの不等式

x^2-2x+1>0

を解け。

左辺を平方完成して,

(x-1)^2>0\cdots④

(x-1)^2は0以上なので,だいたいすべての実数を満たすが,

x=1のときだけ,左辺=0となって,④をみたさない。

よって,x1以外のすべての実数…(答)

実質,2次関数のグラフを考えているのと同じではあるのですが,

「2乗は0以上」という1点に絞って考えることで,暗記することを極力減らして,自力で答えを出せるようになります。

また,特殊パターンは突然出てくるので,普段から平方完成で考えるようにしておくと,迷わずに解答が書けると思います。

2次不等式に平方完成という選択肢を!

この記事では,2次不等式を平方完成を用いて解く方法を説明しました。

平方完成は,「解なし」「すべての実数」などになる場合の2次不等式では特に有効です。

すべての場合で平方完成が早いということはありませんが,解答方法の選択肢としてすぐに使えるようにしておきましょう。

 

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