数Ⅱの最後の単元「積分」では，面積の計算が出てきます。
「上から下を引いて積分」という手順そのものが難しいということはありません。
学生の方時間があればできるけど，模試だと時間がたりなくなちゃうよ。
真面目に積分していくと計算が大変で嫌になっちゃうよ…という経験はありませんか？
この記事では，面積の計算スピードを上げるための便利な公式５つを紹介します。
- 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
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- 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
積分を用いた面積の計算とは
複数の直線や曲線で囲まれる部分の面積は，ふつうは積分を用いて求めます。
例えばこんな問題。
放物線y=x^2-2と直線y=-2x+1で囲まれる部分の面積を求めよ。
まずは図を書くために，放物線と直線の交点を求めます。
放物線と直線の式を連立させて，
x^2-2=-2x+1
⇔ x^2+2x-3=0
⇔ (x-1)(x+3)=0
∴ x=-3,1
となるので，放物線と直線の交点のx座標は-3,1
面積は「上から下を引いて積分」なので，
\displaystyle \int^1_{-3}\{(-2x+1)-(x^2-2)\}dx
＝ \displaystyle \int^1_{-3}(-x^2-2x+3)dx
＝ \left[-\cfrac{1}{3}x^3-x^2+3x\right]^1_{-3}
＝ \left(-\cfrac{1}{3}\cdot 1^3-1^2+3\cdot 1\right)-\left\{-\cfrac{1}{3}\cdot(-3)^3-(-3)^2+3\cdot(-3)\right\}
＝ \cfrac{32}{3}
学生の方めんどくさいし，間違えそう…
積分の計算をまともに行うと，分数が出てきて，計算がとても煩雑になりがちです。
そこで，特定の形においては，面積の計算公式を覚えておくことで，計算にかかる時間を大幅に減らすことができます。
計算スピード爆上がり！面積の計算公式５選
ここからは，積分の問題でよく出される面積の計算公式を５つ紹介します。
2次関数と直線で囲まれる面積（6分の1公式）
もっともよく使われるのが「２次関数と直線で囲まれる部分」の面積です。
図の色を付けた部分の面積をSとすると，
S=\cfrac{|a|}{6}l^3
面積を求めるのに必要なのは，「2次の係数」と「横幅」だけ。
そして直線の式は何でもよい！ということです。
上の例題でやってみましょう。
（放物線と直線の交点を求めるところまでは上の解答と同じ）
aは2次の係数なので，1
lは横幅なので，1-(-3)=4
よって，色を付けた部分の面積は，
\cfrac{|1|}{6}\cdot 4^3
＝\cfrac{32}{3}
学生の方速い…速すぎる…
答えを求めるだけなら，公式一発で計算してしまえるのは強いです。
2次関数と2次関数で囲まれる面積（6分の1公式）
2次関数と2次関数でで囲まれる部分の面積も，６分の１公式が使えます。
図の色を付けた部分の面積をSとすると，
S=\cfrac{|a-b|}{6}l^3
分母が「２次の係数の差」になるところに注意しましょう。
2次関数と接線で囲まれる面積（3分の1公式）
2次関数とその接線で囲まれる部分の面積は，分母が３になります。
図の色を付けた部分の面積をSとすると，
S=\cfrac{|a|}{3}l^3
接点は右側でも左側でもいいです。例を１つ。
色を付けた部分の面積は，
\cfrac{|-2|}{3}(3-0)^3
＝\cfrac{2}{3}\times 3^3
＝18
求めているのは面積なので，必ず正の値になることは確認しておきましょう。
2次関数と2本の接線で囲まれる面積（12分の1公式）
２次関数と2接線で囲まれる面積は頻出ですが，公式を知らないと時間がかかってしまいます。
分母が12になります。
図の色を付けた部分の面積をSとすると，
S=\cfrac{|a|}{12}l^3
ひとつ例をあげます。公式と違って見えますが，実は同じです。
図の色を付けた部分の面積は，
\cfrac{|1|}{12}(2-0)^3
＝\cfrac{1}{12}\times 8
＝\cfrac{2}{3}
一見，接線が１つしかないように見えますが，今回はx軸も接線とみなすことができますよね。
よって，2つの接線で囲まれた形が使えることになります。
3次関数と接線で囲まれる面積（12分の1公式）
最後に3次関数と接線で囲まれる面積です。
図の色を付けた部分の面積をSとすると，
S=\cfrac{|a|}{12}l^4
こちらも12分の１ですが，4乗になっていることに注意してください。
積分の面積公式を使う上での注意点
とても便利な積分の面積公式ですが，使う上で注意しておかなければならないことがあります。
- 公式がそのまま使えないことが多い
- 記述の解答では書きづらい
- 本来の積分を忘れてしまいそう
順に説明していきますね。
注意点① 公式がそのまま使えないことが多い
実際の入試問題は，公式をそのまま使って面積が求められることは多くありません。
例えば次のような面積。
一見，「6分の1公式」が使えそうに見えるかもしれませんが，直線部分が２本あるので，公式は使えません。
公式が使えない場合は，本来の求め方に戻って，「（上の線の式）ー（下の線の式）」を積分して計算するのが，結局早いです。
どうしても積分をしたくないという人は，次の図のように２つに分けて求めることもできます。
上の黄色い部分は三角形なので，三角形の面積（底辺✕高さ÷2），下の青い部分は「６分の１公式」で求められるので，
それぞれを計算して足せば，面積が求められます。
粗茶さんここまでするぐらいなら，普通に積分したほうがいいかもしれない…
注意点② 記述の解答では使いづらい
積分の面積公式は，記述式の解答に説明無しで使うことはできません。
導出過程も採点の対象になる記述問題で，いきなり公式を書いて答えにするのはマズイでしょう。
どうしても公式で計算したい場合であっても，とりあえずインテグラルをつかった式は書いて，最低限「積分したふり」はしておきましょう。
\displaystyle \int^1_{-3}\{(-2x+1)-(x^2-2)\}dx
＝\cfrac{|1|}{6}\{1-(-3)\}^3
＝\cfrac{32}{3}
粗茶さん限りなく黒に近いグレーのような気がする…
積分の「６分の１公式」だけは，教科書で扱われているので，証明無しで使っても許される可能性が高い。
\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\cfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
注意点③ 積分のやりかたを忘れてしまいそう
便利な公式だけを使っていると，本来の積分のやり方を忘れてしまうかもしれません。
２次関数と直線でつくられる面積であれば，工夫をこらすことで，大抵の問題は積分なしで求めることができます。
しかし，最近のセンター試験・共通テストでは，積分の計算そのものを問う出題も増えています。
裏技的な公式だけに頼らず，積分の計算もきちんとできるようにしておきましょう。
粗茶さんもちろん数Ⅲまで必要な人は，積分あります。
積分の面積公式 まとめ
今回は，面積の計算スピードを上げるための便利な公式を５つ紹介しました。
微分・積分の分野は，数ⅡBの中では比較的得点しやすい分野だと思います。
面積の計算はどうしても数が複雑になるので，便利な公式を併用しつつ，効率よく解き進めていきましょう！
積分の面積公式 おすすめ参考書
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