学生の方方程式や不等式に絶対値が入っていると，突然難しくなるよね…
絶対値を含む方程式・不等式の解き方で悩んでいませんか？
実は，絶対値の方程式・不等式は，やり方を覚えれば決して難しい問題ではありません。
なぜなら絶対値の場合分けや，方程式・不等式の形はほとんど決まっているからです。
この記事では，絶対値を含む方程式・不等式の攻略法を，式のパターン別にわかりやすく説明します。
この記事を読めば，式に絶対値が出てきても恐れることはなくなります。
絶対値の方程式・不等式を得意分野にして，友達と差をつけちゃいましょう！
- 絶対値を含む方程式・不等式の解き方がわかる
絶対値のはずしかたについては，以下の記事もお読みください。
- 高校数学・高校公民・中学社会担当の現役塾講師
- 講師歴13年
- 13年の指導経験で知った「生徒がつまづきやすいポイント」や「教科書よりも効率の良い解法」をわかりやすく発信しています。
絶対値の方程式・不等式は場合分け…とは限らない。
学生の方絶対値の方程式と不等式って，毎回場合分けしなきゃいけないから大変…
絶対値といえば，必ず「場合分け」が必要だと思っていませんか？
実は，方程式・不等式によっては，場合分けをしなくても解ける場合があります。
見分ける基準は，「絶対値の個数」と「絶対値の外にxがあるかどうか」の２点。
方程式・不等式の中に絶対値が１つだけで，かつ，絶対値の外にxがないとき，場合分け不要で解くことができます。
- |x|=5
- |3x+2|<8
- |2x|+3\geqq 0
絶対値記号が１つであればいいので，絶対値の中身はどんな式であっても大丈夫です。
一方，方程式・不等式の中に絶対値が２つ以上あるか，または，絶対値の外にxがあるときは，必ず場合分けをします。
- |x+2|-|x-3|=5（絶対値が２つ）
- |3x+2|<x+8（絶対値の外にもxがある）
- |2x|+|5-3x|-|x^2+4x-3|-x^2+7x\geqq 0（絶対値が２つ以上で，かつ，絶対値の外にもxがある）
それぞれの場合について，方程式と不等式の解き方を解説していきます。
絶対値の方程式・不等式：場合分けが不要なもの
絶対値の方程式・不等式のうち，絶対値が１つだけで，絶対値の外にxがない場合は，場合分けが不要です。
次の方程式・不等式を解け。
（1）|x|=5
（2）|x|<4
（3）|x|>2
絶対値の定義である「距離」の考え方で解けますよ。
数直前上で原点（0）から，ある実数aまでの距離を「aの絶対値」といい，
\LARGE{|a|}と書く。
（1）
|x|=5は，「0からxまでの距離が5」という意味。
図にするとこうなります。
0からの距離が5になるようなxは5と-5なので，答えは，
x=\pm 5 …（答）
（2）
|x|<4は，「0からxまでの距離が4より小さい」という意味。
図にするとこうなります。
0からの距離が4より小さくなるようなxの範囲は，4と-4の間なので，答えは，
-4<x<4 …（答）
（3）
|x|>2は，「0からxまでの距離が2より大きい」という意味。
図にするとこうなります。
0からの距離が2より大きくなるようなxの範囲は，-2より左の範囲と，2より右の範囲なので，答えは，
x<-2，2<x …（答）
「絶対値」＝「距離」という考え方を使えば，場合分けなしで方程式や不等式を解くことができます。
一応，公式になっているので，まとめておきます。
xを実数，aを0以上の定数とする。
\begin{aligned}
|x|=a& \Leftrightarrow x=\pm a\\\\
|x|< a& \Leftrightarrow -a < x < a\\\\
|x|> a& \Leftrightarrow x<-a,a< x
\end{aligned}公式は覚えていいのですが，いつも数直線のイメージすると考えやすいです。
次の方程式・不等式を解け。
（1）|x-2|=5
（2）|x+3|<4
（3）|2x-5|>2
絶対値の中身が多項式になっている場合も考え方は同じ。公式のxのところを置き換えればOK。
（1）公式のxのかわりにx-2にします。
\begin{aligned}
& |x-2|=5\\\\
&\Leftrightarrow x-2=\pm 5\\\\
&\Leftrightarrow x=2\pm 5\\\\
&\Leftrightarrow x=7,-3 \cdots（答）
\end{aligned}（2）公式のxのかわりにx+3にします。
\begin{aligned}
& |x+3|<4\\\\
&\Leftrightarrow -4< x+3 < 4 \\\\
&\Leftrightarrow -7< x < 1 \cdots（答）
\end{aligned}（3）公式のxのかわりに2x-5にします。
\begin{aligned}
& |2x-5|>2\\\\
&\Leftrightarrow 2x-5<-2，2<2x-5 \\\\
&\Leftrightarrow 2x<3，7<2x \\\\
&\Leftrightarrow x <\cfrac{3}{2}，\cfrac{7}{2} < x \cdots（答）
\end{aligned}絶対値の方程式・不等式：場合分けが必要なもの
絶対値の方程式・不等式は，多くの問題で，場合分けが必要です。
絶対値の場合分けは，中身の符号が０以上か負かで分けるんでしたね。
aを実数とする。
|a|=\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
a&(a\geqq 0のとき)\\\\
-a&(a<0のとき)
\end{array}
\right.
\end{aligned}絶対値の方程式や不等式を解くときには，絶対値の部分を場合分けして，それぞれの場合について式を解いていきます。
次の方程式・不等式を解け。
（1）|x-2|=5
（2）|x+3|<4
学生の方これ，さっきの例題２と同じ問題じゃん！
場合分け不要！と紹介した形の方程式や不等式も，場合分けで解くことは可能です。
同じ問題ですが，今度は場合分けする方法で解いてみます。
（1）
|x-2|=\left\{\begin{array}{l}x-2&(x\geqq 2のとき)\\\\
-(x-2)&(x<2のとき)
\end{array}
\right.と場合分けできる。
（ⅰ）x\geqq 2のとき
\begin{array}{l}|x-2|=5\\\\
x-2=5\\\\
\therefore x=7
\end{array}これはx\geqq 2を満たす。
粗茶さん出てきた答えが場合分けの範囲x\geqq 2を満たしているか必ず確認しましょう。
（ⅱ）x<2のとき
\begin{array}{l}|x-2|=5\\\\
-(x-2)=5\\\\
-x+2=5\\\\
\therefore x=-3
\end{array}これはx<2を満たす。
以上（ⅰ）（ⅱ）より，
x=7，-3 \cdots(答)
粗茶さん当たり前ですが，例題２と同じ答えです。
（2）
|x+3|=\left\{\begin{array}{l}x+3&(x\geqq -3のとき)\\\\
-(x+3)&(x<-3のとき)
\end{array}
\right.と場合分けできる。
（ⅰ）x\geqq -3のとき
\begin{array}{l}|x+3|<4\\\\
x+3<4\\\\
\therefore x<1
\end{array}粗茶さん不等式の場合は，出てきた答えと，場合分けの範囲との共通部分を答えます。
これと，x\geqq -3（場合分けの範囲）との共通部分は，
-3\leqq x < 1
（ⅱ）x < -3のとき
\begin{array}{l}|x+3|<4\\\\
-(x+3)<4\\\\
-x-3<4\\\\
\therefore x>-7
\end{array}これと，x < -3（場合分けの範囲）との共通部分は，
-7 < x <-3
（ⅰ）または（ⅱ）より，求める解は，
-7 < x < 1\cdots(答)
このようにして，場合分けで解くこともできます。
方程式の場合は，出てきた答えが場合分けの範囲に当てはまっているかどうか確認。
不等式の場合は，出てきた答えと場合分けの範囲との共通部分を答える。
ことに注意しましょう。
次の方程式・不等式を解け。
（1）x^2-|2x-1|-3=0
（2）|x+3|+|2x-1|=5
（3）|x-2|-|3x+2|\geqq 2
すべて場合分けで解くしかないパターンです。
（1）
|2x-1|=
\left\{
\begin{array}{l}
2x-1&\left(x\geqq\cfrac{1}{2}のとき\right)\\\\
-(2x-1)&\left(x<\cfrac{1}{2}のとき\right)
\end{array}
\right.と場合分けできる。
（ⅰ）x\geqq \cfrac{1}{2}のとき
\begin{array}{rcl}
x^2-(2x-1)-3&=&0\\\\
x^2-2x-2&=&0\\\\
\therefore x&=&1\pm\sqrt{3}
\end{array}粗茶さん場合分けの範囲に当てはまっているかを確認しましょう。
ここで，x=1-\sqrt{3}は，x\geqq\cfrac{1}{2}を満たさないので不適。
したがって，
x=1+\sqrt{3}
（ⅱ）x<\cfrac{1}{2}のとき
\begin{array}{rcl}
x^2-\{-(2x-1)\}-3&=&0\\\\
x^2+2x-4&=&0\\\\
\therefore x&=&1\pm\sqrt{5}
\end{array}ここで，x=1+\sqrt{5}は，x<\cfrac{1}{2}を満たさないので不適。
したがって，
x=1-\sqrt{5}
以上（ⅰ）（ⅱ）より，
x=1+\sqrt{3}，1-\sqrt{5} \cdots(答)（2）２つの絶対値があるときは，それぞれを場合分けして，２つを合体させます。
|x+3|=\left\{\begin{array}{l}
x+3&(x\geqq-3のとき)\\\\
-(x+3)&(x<-3のとき)
\end{array}\right.
|2x-1|=\left\{\begin{array}{l}
2x-1&(x\geqq\cfrac{1}{2}のとき)\\\\
-(2x-1)&(x<\cfrac{1}{2}のとき)
\end{array}\right.
この２つを合体させて，
（ⅰ）x<-3のとき
\begin{array}{rcl}
-(x+3)+\{-(2x-1)\}&=&5\\\\
-3x-2&=&5\\\\
\therefore x&=&-\cfrac{7}{3}
\end{array}これは，x<-3を満たさず，不適。
（ⅱ）-3\leqq x <\cfrac{1}{2}のとき
\begin{array}{rcl}
(x+3)+\{-(2x-1)\}&=&5\\\\
-x+4&=&5\\\\
\therefore x&=&-1
\end{array}（これは-3\leqq x < \cfrac{1}{2}を満たす。）
（ⅲ）\cfrac{1}{2} \leqq xのとき
\begin{array}{rcl}
(x+3)+(2x-1)&=&5\\\\
3x+2&=&5\\\\
\therefore x&=&1
\end{array}（これは\cfrac{1}{2} \leqq xを満たす。）
以上（ⅰ）〜（ⅲ）より，
x=\pm 1 \cdots(答)
粗茶さんx=-1とx=1が適する答えだったので，まとめちゃいました。
（3）不等式になっても，場合分けは同じです。
|x-2|=\left\{\begin{array}{l}
x-2&(x\geqq2のとき)\\\\
-(x-2)&(x<2のとき)
\end{array}\right.
|3x+2|=\left\{\begin{array}{l}
3x+2&(x\geqq-\cfrac{2}{3}のとき)\\\\
-(3x+2)&(x<-\cfrac{2}{3}のとき)
\end{array}\right.
この２つを合体させて，
（ⅰ）x<-\cfrac{2}{3}のとき
\begin{array}{rcl}
-(x-2)-\{-(3x+2)\}&\geqq&2\\\\
2x+4&\geqq&2\\\\
\therefore x&\geqq&-1
\end{array}これと，x<-\cfrac{2}{3}の共通部分は，
-1\leqq x<-\cfrac{2}{3}
（ⅱ）-\cfrac{2}{3}\leqq x <2のとき
\begin{array}{rcl}
-(x-2)-(3x+2)&\geqq&2\\\\
-4x&\geqq&2\\\\
\therefore x&\leqq&-\cfrac{1}{2}
\end{array}これと，-\cfrac{2}{3}\leqq x <2の共通部分は，
-\cfrac{2}{3}\leqq x \leqq -\cfrac{1}{2}
（ⅲ）2\leqq xのとき
\begin{array}{rcl}
(x-2)-(3x+2)&\geqq&2\\\\
-2x-4&\geqq&2\\\\
\therefore x&\leqq&-3
\end{array}これと2\leqq xの共通部分は存在しない。
（ⅰ）または（ⅱ）または（ⅲ）より，
-1\leqq x\leqq -\cfrac{1}{2} \cdots(答)粗茶さん場合分けの範囲との共通部分をそれぞれ求めて，最後に足し合わせます。
絶対値の数が増えると，場合分けの数も増えるので，手間が多くなりますが，基本的な解き方は変わりません。
・方程式→出てきた答えが場合分けの範囲を満たすかを確認
・不等式→出てきた答えと場合分けの範囲の共通部分を答えにする
これらを徹底しましょう。
まとめ：解き方の形を身につけよう
この記事では，絶対値を含む方程式・不等式の解き方を紹介しました。
今回の内容をおさらいしましょう。
- 絶対値が１つだけで，かつ，絶対値の外にxがない→場合分け不要
- 絶対値が２つ以上または絶対値の外にxがある→場合分けする
- 方程式→出てきた答えが場合分けの範囲を満たすかを確認
- 不等式→出てきた答えと場合分けの範囲の共通部分を答えにする
場合分けが必要なときでも，分けることができれば，それぞれの計算自体は難しくないはずです。
それぞれの計算結果が場合分けの範囲に含まれているかも，必ず確認しましょう。
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