今回は「円の接線の方程式」のお話です。
円の接線の求め方って，なんだか文字が多くなってごちゃごちゃすると思っていませんか？
実は，円の接線の方程式は，文字１つをおくことで求めることができてしまいます。
・円の接線の方程式を，1つの文字をおくだけで求めることができる。
粗茶
- 文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
- 指導歴14年
- 数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。
もうすぐ共通テスト！受験生のあなたを応援しています！
予備知識
円の接線とは
円の接線とは，円に接している（１点を共有する）直線のことです。
円の中心と接点を結んだ直線は，接線と垂直に交わるという性質があります。
直線の方程式
直線の方程式は，「傾き」と「通る点」がわかれば，求めることができます。
傾きがmで点(p,q)を通る直線の方程式は
y-q=m(x-p)
例えば，傾きが2で，点(1,3)を通る直線は，
y-3=2(x-1)
\therefore y=2x+1
のように求められます。
円の接線を求めよう
それでは，円の接線を求めていきましょう。
原点が中心の円で，接点がわかっている場合
もっとも易しいパターンです。
円 x^2+y^2=25の、点(4,3)における接線の方程式を求めよ。
「点(4,3)における」とは、「点(4,3)が接点ですよ」ということなので，図はこんな感じになります。
原点が中心の円で，接点がわかっている場合は、文字をおく必要もありません。
円の中心と接点を結ぶ直線（上図の青い線）の傾きは\cfrac{3}{4}
これが接線と垂直になっていることから、接線の傾きを求めることができます。
ここで使う公式がこちら。
傾きmの直線と傾きnの直線が垂直に交わるとき、
mn=-1 すなわち、n=-\cfrac{1}{m}
傾きを逆数にしてマイナス倍すると、垂直な直線の傾きになります。
今回の場合は、青い線の傾きが\cfrac{3}{4} なので、接線の傾きは-\cfrac{4}{3}
もちろん接点(4,3)を通ります。
というわけで求める接線は、傾き-\cfrac{4}{3}で、(4,3)を通る直線なので、
y-3=-\cfrac{4}{3}(x-4)
よって，y=-\cfrac{4}{3}x+\cfrac{25}{3} …（答）
ただ，原点が中心の円の接線については，次の公式があります。
円x^2+y^2=r^2の，点(a,b)における接線の方程式は，
ax+by=r^2
今回の場合だと，円の式がx^2+y^2=25，接点が(4,3)だったので，公式にあてはめると，接線の方程式は，
4x+3y=25
よって，y=-\cfrac{4}{3}x+\cfrac{25}{3}
となります。さっきと同じです。
中心が原点の場合については，この公式でやったほうが早いことが多いです。
接点がわからないけど，他の点がわかっている場合
大抵の問題は，接点はわかっておらず，代わりに他の通る点が与えられています。
点(3,1)を通り，円x^2+y^2=2に接する直線の方程式を求めよ。
接点がわかっていない場合は，傾きをmとおいて，とりあえず直線の式をつくります。
接線の傾きをmとすると，求める接線は，
点(3,1)を通り，傾きmの直線だから，
y-1=m(x-3)すなわち，y=mx-3m+1 …①
となります。
ここで必殺！「点と直線の距離」公式が登場します。
点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離をdとすると，
d=\cfrac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
実は，円の中心と接線の距離は，円の半径と同じになります。
つまり「円の中心(0,0)と接線mx-y-3m+1=0の距離」＝「半径」という方程式を作って解けば，mがわかって，接線が求められるという流れができあがります。
点と直線の距離の公式を使うとき，直線の式は必ずax+by+c=0の形で使います。
今回も，①の式を整理して，mx-y-3m+1=0という形に直してから使ってね。
円の中心と接線の距離は，円の半径に等しいので，
\cfrac{|m\cdot 0-0-3m+1|}{\sqrt{m^2+1^2}}=\sqrt{2}
両辺を\sqrt{m^2+1}倍しつつ計算して，
|-3m+1|=\sqrt{2(m^2+1)}「絶対値」＝「ルート」のときは，両辺が正の数なので，両辺を2乗しても問題ありません。
両辺を2乗して，
(-3m+1)^2=2(m^2+1)
\Leftrightarrow 9m^2-6m+1=2m^2+2
\Leftrightarrow 7m^2-6m-1=0
\Leftrightarrow (7m+1)(m-1)=0
\therefore m=-\cfrac{1}{7}，1
それぞれを①に代入して，求める接線は，
y=-\cfrac{1}{7}x+\cfrac{10}{7}，y=x-2 …（答）
ここで紹介した方法ではなく，接点を(x_1,y_1)などとおいて，連立方程式をつくる方法が常套手段とされていますが，連立方程式がめんどくさいので，個人的には傾きをｍと置く方法をおすすめします。
ただし，傾きをｍとおく方法には，１つだけデメリットがあります。
円外の点から引いた接線は必ず2本あるので，ｍも2つ出てくるはずです。
しかし，問題によってはｍが１つしか出てこない場合があります。
ｍが1つしか出ないときは，1つの接線の傾きが定義できない，つまりy軸に平行な直線になっているということです。
例えばこんな感じ。
ｍが1つしか求まらなかった場合は，上図の赤線のような接線が存在しているので，図を描いて示しておきましょう。
原点以外が中心の円
最もめんどうなパターンとされています。
しかし，傾きをmとおく方法を使えば，中心がどこにあってもやり方は変わりません。
点(2,4)を通り，円(x+2)^2 +(y-2)^2 =10に接する直線の方程式を求めよ。
例題2と同じように，傾きをmとおいて，接線の方程式を作ります。
接線の傾きをmとすると，求める接線は，
点(2,4)を通り，傾きmの直線だから，
y-4=m(x-2)すなわち，mx-y-2m+4=0 …①
粗茶さんこのあと「点と直線の距離」の公式をつかうので，最初からax+by+c=0の形にしておきました。
続いて，「円の中心(-2,2)と接線mx-y-2m+4=0の距離」＝「半径」という方程式を作って解けばOK。
中心の座標が原点ではなく(-2,2)になっただけで，やり方は同じです。
円の中心と接線の距離は，円の半径に等しいので，
\cfrac{|m\cdot(-2)-2-2m+4|}{\sqrt{m^2+1^2}}=\sqrt{10}
両辺を\sqrt{m^2+1}倍しつつ計算して，
|-4m+2|=\sqrt{10(m^2+1)}両辺を2乗して，
(-4m+2)^2=10(m^2+1)
\Leftrightarrow 16m^2-16m+4=10m^2+10
\Leftrightarrow 3m^2-8m-3=0
\Leftrightarrow (3m+1)(m-3)=0
\therefore m=-\cfrac{1}{3}，3
m=-\cfrac{1}{3}のとき，①は，
-\cfrac{1}{3}x-y+\cfrac{14}{3}
\Leftrightarrow x+3y-14=0
m=3のとき，①は，
3x-y-2=0
よって，求める接線は，
x+3y-14=0，3x-y-2=0 …（答）
一応，中心が原点ではない円の接線の公式というのもあるんですが…
円(x-p)^2+(y-q)^2=r^2上の点(a,b)における接線の方程式は
(a-p)(x-p)+(b-q)(y-q)=r^2
覚えてもいいと思うんですが，結局接点を文字でおかないといけないので，連立方程式を解くはめになります。
べ，別にいいんだけど連立方程式でも。
まとめ
円の接線の求め方のうち，おく文字をできるだけ少なくするやり方を紹介しました。
- 接線の傾きをmとおいて，接線の方程式をつくる。
- 「中心と接線の距離」＝「半径」で，ｍの方程式をつくって解く
- ｍを接線の式に代入して完成
- ｍが１つしか出ないときは，１つの接線がy軸に平行なので注意
数Ⅱは単元が多いので，暗記することはできるだけ少なくして，効率よく習得していきましょう！
図形と方程式 おすすめ参考書
信頼と実績の坂田先生です。
ポチップ
このブログでは，自分で勉強しているとき，つまづきやすいポイントを解説。
「かゆいところに手が届く」情報を発信しています。
自分で勉強する際にオススメの参考書や，勉強が楽しくなる文房具も紹介していますので，よろしければご覧ください！
