相反方程式の解き方をわかりやすく解説！４次方程式も怖くない！

2026-02-22

いきなりですが、この方程式解けますか？

x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0

学生の方

4乗は厳しいっす！！

ふつうの4次方程式を解くのはなかなか大変なのですが、今回は特別な方程式なんですよ。

係数に注目してみましょう。

{\color{red}1}\cdot x^4+{\color{green}2}x^3+3x^2+{\color{green}2}x+{\color{red}1}=0

学生の方

あ、左右対称！

係数は左から順に1・2・3・2・1と、3を中央にして左右対称になっています。

このように、係数が左右対称に並んでいる方程式を相反方程式（そうはんほうていしき）といって、特別な方法で解を出すことができてしまうのです。

この記事では、相反方程式の解き方をわかりやすく解説していきます。

忘れた頃に出てくる問題なので、やり方をしっかり覚えておきましょう。

この記事を書いた人

粗茶

文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
指導歴15年
数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。

相反方程式の解き方5ステップ

相反方程式（4次の場合）に出会ったら、以下のステップを機械的に踏むだけで完結します。

この流れをテンプレートとして持っておくことをおすすめします。

相反方程式の解き方

両辺を $x^2$ で割る（ $x \neq 0$ を確認してから）
同じ係数を持つ項をまとめる
$t = x + \cfrac{1}{x}$ と置換して、 $t$ の2次方程式を解く
$t$ の値を戻して $x$ を求める

粗茶さん

具体的な問題でやってみますね。

相反方程式を解いてみよう

テンプレートに従って、冒頭に出てきた相反方程式を解いていきましょう。

例題

$x$ の方程式

x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0

を解け。

❶両辺をxの2乗で割る

最初に両辺を $x^2$ で割ります。ただし、いきなり $x^2$ 割ってはいけません。

問題では、 $x$ について何も条件や範囲が指定されていないので、 $x=0$ 、つまり $x^2=0$ の可能性もありえます。

数学の重要なルールに、「0で割ってはいけない」というのがありますよね。

いけないというか、「÷0」が定義されていない、といったほうがより正確ですが。

なので、両辺を $x^2$ で割る前に、 $x=0$ であることを確認する必要があります。

学生の方

確認って言われてもねえ…

なんだか難しそうに聞こえますが、早い話、0が方程式の解ではないということがわかればOK。

問題の方程式に $x=0$ を代入して式が成り立てば0が解であり、成り立たなければ0は解ではないといえます。

まずは0が解でないことを確認したうえで、両辺を $x^2$ で割っていきましょう。

（解答）

$x=0$ を方程式に代入すると、

(左辺)＝1，(右辺)=0となり，式が成り立たない。

よって $x\neq 0$ である。

方程式の両辺を $x^2$ で割ると、

x^2+2x+3+\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{x^2}=0

学生の方

分数になって、さらに大変そうな気がするけど…

粗茶さん

ちゃんと解けるので、ご安心を。

❷同じ係数の項をまとめる

次に、同じ係数どうしの項をまとめます。

4次の相反方程式の場合は、 $x^2$ と $\cfrac{1}{x^2}$ ， $x$ と $\cfrac{1}{x}$ がそれぞれ同じ係数になっています。

（解答の続き）

\left(x^2+\cfrac{1}{x^2}\right)+2\left(x+\cfrac{1}{x}\right)+3=0

❸x+1/xをtに置換して解く

そして、 $x+\cfrac{1}{x}$ を $t$ に置き換えて、 $t$ の方程式をつくります。

学生の方

$x+\cfrac{1}{x}$ はそのまま $t$ になるけど、 $x^2+\cfrac{1}{x^2}$ はどうなるの？

$x^2+\cfrac{1}{x^2}$ はすぐにはわかりませんが、 $x^2$ が含まれていることから、なんとなく $t^2$ に近くなりそうだな、と考えて、とりあえず $t^2$ を計算してみると、

t^2=\left(x+\cfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{x^2}

つまり、

t^2=x^2+\cfrac{1}{x^2}+2

ということになりまして、2を移項して整理すると、

x^2+\cfrac{1}{x^2}=t^2-2

となりました。これを❷で作った式に代入すれば、tの方程式になりますね。

一応、公式みたいになっているので、覚えておくと良いです。

覚えたほうがいいやつ

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

これの $a$ に $x$ を、 $b$ に $\cfrac{1}{x}$ を代入する感じです。

（解答の続き）

ここで $t=x+\cfrac{1}{x}$ とおくと，

x^2+\cfrac{1}{x^2}=\left(x+\cfrac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\cfrac{1}{x}=t^2-2

となるので、方程式は、

\begin{array}{ll} t^2-2+2t+3=0\\\\ t^2+2t+1=0\\\\ (t+1)^2=0\\\\ \therefore t=-1 \end{array}

❹tをもとに戻してxを求める

最後に、 $t=x+\cfrac{1}{x}$ だったので、もとに戻して $x$ の方程式を解きます。

（解答の続き）

よって、

x+\cfrac{1}{x}=-1

両辺を $x$ 倍して、

\begin{array}{ll} x^2+1=-x\\\\ x^2+x+1=0 \end{array}

解の公式で、

x=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}

虚数ではありますが、解が求められました。

相反方程式は置き換えができれば簡単！

この記事では、4次の相反方程式の解き方をステップに分けて解説しました。

一見すると難解な4次方程式も、「左右対称」という性質に気づき、 $x^2$ で割るという最初の一歩を踏み出せば、あとは使い慣れた2次方程式の知識だけで解くことができます。

学校の授業ではあまり扱われない場合もありますが、入試問題では頻出なので、ぜひやり方をマスターしておきましょう！

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