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PとCってあるじゃん?いつもどっちを使えばいいかわかんなくなるんだよね…
数Aの「場合の数」で登場する_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ),
問題によって使い分けができなくて悩んでいませんか?
実はPとCの違いは非常にシンプルです。
- _nP_r…異なるn個のものからr個を取り出して,1列に並べる並べ方の総数
- _nC_r…異なるn個のものからr個を取り出す,取り出し方の総数(順番は考えない)
実は,異なるn個のものからr個を取り出すところまでは同じで,
そのあと並べるか並べないかの違いでしかありません。
この記事では,「場合の数」を学習する上で基本となる_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ)の違いと計算方法をわかりやすく解説していきます。
- 場合の数で使う_nP_r(順列)と_nC_r(組合せ)の違いと計算方法がわかる
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粗茶
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階乗は,自然数を全部かけたもの
順列と組み合わせを語る前に,重要な計算である階乗について紹介します。
自然数を1からnまで全部かけあわせたものをnの階乗といい,
n!
と書きます。
「1からnまで」と書きましたが,ふつうは大きい方から順にかけるので,
例えば,「5の階乗」は,
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120
となります。
階乗の値はある程度覚えていると便利なので,一覧にしておきます。
\begin{array}{l} 0!=1\\\\ 1!=1\\\\ 2!=2\cdot 1=2\\\\ 3!=3\cdot2\cdot 1=6\\\\ 4!=4\cdot3\cdot2\cdot 1=24\\\\ 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot 1=120\\\\ 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot 1=720\\\\ \end{array}
7!より先はあまり使わないので,その都度計算すればいいと思います。
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6!までの値も,その都度計算すればいいっちゃ,いい。
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0の階乗はどうして1なの?
さりげなく書いてしまいましたが,0の階乗は1であると定義されています。
理由は,そうしておくと何かと都合がいいから,です。
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定義なので,ここは我慢して覚えましょう…
P(順列)は,取り出したものを並べる
それではここからは,_nP_r(順列)について説明していきます。
Pの定義
_nP_r(順列)の定義は次のようになります。
異なるn個のものからr個を選んで,一列に並べる並べ方(順列という)の総数を_nP_rと表し,次のように計算する。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/IMG_F5E52485D1DD-1-1024x315.jpeg)
文字で書かれると分かりづらいと思うので,具体的な問題をやってみましょう。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/スクリーンショット-2024-07-03-16.47.48.png)
上のように,A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。
この5枚の中から3枚を選んで1列に並べる並べ方の総数を求めなさい。
異なる5個から3個を選んで,並べるので,
_5P_3になります。
5から始めて3回かければいいので,
_5P_3=5\cdot 4\cdot 3=60
よって60通り。
という感じで,取り出して「並べる」工程が入っている場合はPを使います。
Pの意味
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どうしてこの計算になるの?
それでは,先程の例題1をPを使わずに考えてみましょう。
5枚のカードから1枚ずつ選んで,左から順に並べていきます。
まず,左端のカードを選びます。選び方は5通り。
それぞれに対して,真ん中のカードの選び方が4通り(すでに1枚選ばれているため)。
それぞれに対して,右端のカードの選び方が3通り(すでに2枚選ばれているため)。
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よって,並べ方の総数は
5\cdot 4\cdot 3=60
つまり60通り。
たしかに,_5P_3と同じ計算になりましたね。
このように順列の総数は,かんたんな掛け算で計算できるので,
無理してPで表現しなくても,掛け算でやってしまえばいい。
と,個人的には思っています。
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ただ,問題集の解説にPが使われていることが多いので,意味はわかっておこう。
全部並べるときは階乗を使う
順列の問題ですが,先ほどと少しだけ違います。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/スクリーンショット-2024-07-03-16.47.48.png)
A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。
この5枚のカードを1列に並べる並べ方の総数を求めなさい。
例題1と違って,「3枚取り出す」という手順がなくなりました。
つまり,5枚を全部並べることになります。
5枚全部を並べる場合でも,「異なる5枚の中から5枚を選んで並べる」と考えれば,Pを使うことができます。
求める並べ方は,
_5P_5=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120
よって120通り。
これ,どこかで見たことありますよね?
そう,5の階乗と同じなんです。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2023/12/IMG_1218-e1717506674234-150x150.jpeg)
5から始めて5個かけるということは,5から1までかけるってことだからね。
Pの前後の数字が同じ場合は,階乗の計算になります。
_nP_n=n!
一部を取り出さずに,全部並べるときは,Pの形を書かずに,最初から階乗でいきましょう。
C(組合せ)は,取り出すだけ
続きまして,_nC_r(組合せ)について説明していきます。
まずは定義から。
Cの定義
_nC_r(組合せ)の定義は次のようになります。
異なるn個のものからr個を選ぶ選び方の総数を_nC_rと表し,次のように計算する。
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_nP_rをr!で割ると,_nC_rになる。という関係があります。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/スクリーンショット-2024-07-03-16.47.48.png)
A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。
この5枚の中から3枚を選ぶ,選び方の総数を求めなさい。
5枚から3枚を選びますが,並べることはしません。
選ぶだけで並べない場合は,Cを使いましょう。
異なる5個から3個を選ぶので,_5C_3です。
求める選び方の総数は,
_5C_3=\cfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot2\cdot 1}=10
よって,10通り。
Cの計算は,Pのように掛け算で代用できないので,しっかり覚えましょう。
Cで組合せが求められる理由
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2023/12/IMG_0739-150x150.jpeg)
Pをr!で割るとCになるのはどうして?
_nC_r=\cfrac{_nP_r}{r!}になる理由が気になるアナタのために,ざっくりと説明しておきましょう。
例題で扱った5枚のカードで考えてみます。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/スクリーンショット-2024-07-03-16.47.48.png)
5枚から3枚を取り出す組合せは_5C_3通りでした。
例えばこの中には(A,B,C)という組が存在します。
順番を考えない(_5C_3)ときは,(A,B,C)は1つの組でしかありません。
しかし,順番を考える順列(_5P_3)の場合は,1つの組(A,B,C)に対応する並び方が3!通り存在します。
これは(A,B,D)とか(C,D,E)とか,別の組についても同様です。
1つの組合せに対して,対応する並び替えが3!通りずつあります。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2024/07/スクリーンショット-2024-07-03-18.13.54-973x1024.png)
_5C_3を3!倍すると,_5P_3になる。つまり,
_5C_3\times 3!=_5P_3
となるので,両辺を3!で割って,
_5C_3=\cfrac{_5P_3}{3!}
となります。
![](https://sochadesuga.com/wp-content/uploads/2023/12/IMG_1218-e1717506674234-150x150.jpeg)
具体例で説明しましたが,一般の_nC_rについても成り立ちます。
Cの性質
組合せを表す_nC_rには,いくつかの重要な性質があります。
\begin{array}{l} (1)_nC_0=1\\\\ (2)_nC_n=1\\\\ (3)_nC_r=_nC_{n-r} \end{array}
順に説明していきます。
(1)_nC_0=1
_nC_0は,「n個から0個を選ぶ選び方」ですが,
0個を選ぶということは,「何も選ばない」という1通りしかないので,
_nC_0=1 となります。
(2)_nC_n=1
_nC_nは,「n個からn個を選ぶ選び方」。
これもやはり「n個全部を選ぶ」という1通りしかないので,
_nC_n=1 となります。
(3)_nC_r=_nC_{n-r}
具体的に考えてみます。
n=5,r=2とすると,
_5C_2=_5C_3 です。
例えば,5人の応募者から合格者2人を選ぶ選び方は_5C_2通り。
一方,5人の応募者から不合格者3人を選ぶ選び方は_5C_3通り。
一見ちがって見えますが,結果として起こる状況って,同じですよね。
2人が合格して,3人が不合格。
実際に計算すればわかりますが,_5C_2と_5C_3は同じ値になります。
この性質を利用して,
Cの右下の数をなるべく小さくしたほうが,計算が楽になりますよ。
_{99}C_{97}の場合,
_{99}C_{97}=\cfrac{99\cdot 98\cdots3}{97\cdot 96\cdots 1}
は,やってられないので,
_{99}C_{97}=_{99}C_{2}=\cfrac{99\cdot 98}{2\cdot 1}=99\cdot49=4851
ってやりましょう。
PとCの違いは「並べるか,並べないか」。
この記事では,P(順列)とC(組合せ)について,これらの違いと計算方法を紹介しました。
ざっくりまとめると,
- P(順列)はn個のものからr個選んで並べる方法の数。基本的には掛け算で代用。
- C(組合せ)は、n個からr個を選ぶだけの方法の数。計算方法は覚えること。
順列は「取り出して並べる」、組合せは「取り出すだけ」という違いをしっかりと理解して、場合の数の問題に自信を持って取り組みましょう。
特にCの計算は、場合の数や確率の単元で非常によく使われるので、しっかりマスターしておきましょう!