学生の方x^4とx^2か出てくる因数分解って、x^2をXとかにすればできると思ってたんだけど、できないやつがあった。
ax^4 + bx^2 + cのように、x^4の項、x^2の項、定数項からなる式を複2次式といいます。
複2次式の因数分解は、x^2=Xなどとおいて2次式の形に置き換えて、たすき掛け。というのが基本的な解き方になります。
しかし、中にはx^2=Xと置き換えても因数分解できない場合もあります。
この記事では、複2次式の因数分解を2つのパターンに分けて、迷わず解くための手順を整理して解説します。
この記事で扱うのはx^4の項、x^2の項、定数項だけがある4次式です。同じ4次式でもx^3やxが含まれるものは話が違ってきますので、ここでは扱いません。
粗茶
- 文系に特化して数学を分かりやすく教える高校数学の専門家
- 指導歴15年
- 数学が苦手で何から始めたらいいか分からない文系高校生の悩みを解決するコンテンツを展開しています。
複2次式①置き換えで解決するパターン
まずは易しい方の、置き換えで解決できる複2次式です。
x^4+3x^2+2を因数分解せよ。
4乗と2乗しかないので、x^2=Xとおいて、Xの2次式とみることを考えましょう。
x^2=Xとおくと、
x^4=(x^2)^2=X^2なので、与式は、
\begin{array}{ll}
&X^2+3X+2\\\\
=&(X+1)(X+2)\\\\
=&(x^2+1)(x^2+2)
\end{array}となります。最後にXをx^2に戻すことを忘れずに。
もう１つ同じような問題ですが、ちょっと注意が必要なやつ。
x^4-5x^2+4を因数分解せよ。
これも複2次式なので、x^2=Xとおくのは同じ。
x^2=Xとおくと、
x^4=(x^2)^2=X^2なので、与式は、
\begin{array}{ll}
&X^2-5X+4\\\\
=&(X-1)(X-4)\\\\
=&(x^2-1)(x^2-4)
\end{array}学生の方え、さっきと一緒じゃね？
因数分解された式をよく見てみると、x^2-1はx^2-1^2、x^2-4はx^2-2^2で、それぞれ(2乗)ー(2乗)の形になってるので、和と差の積に因数分解できます。
因数分解できることろは全部因数分解するのがルールなので、さらに因数分解して、解答になります。
学生の方因数分解因数分解言い過ぎやで！
（続き）
\begin{array}{ll}
&(x^2-1)(x^4-1)\\\\
=&(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
\end{array}これで完了となります。
特に次数の大きい式の因数分解では、さらに因数分解できるところが残っていないか、チェックすることを心がけましょう。
複2次式②「2乗の差」をつくるパターン
複2次式にも慣れてきたところで、今度はこちらの問題です。
x^4+3x^2+4を因数分解せよ。
学生の方え、何か変わったの？
今までと同じように置き換えてみると、
X^2+3X+4
ってなるのですが、たして3、かけて4になる2つの実数の組は存在しません。
つまり今までの例題のようにたすき掛けで因数分解することはできないのです。
このパターンの問題は、定数項が平方数（整数の2乗）になってるはずなので、これを利用して2乗の差を作り出します。今回も定数項の4は2の2乗ですよね。
粗茶さん定数項が平方数になってないとどうにもならないので、必ず平方数になってます。
まず、x^4と定数項の4に注目します。
(x^2+2)^2を展開するとx^4+4x^2+4になることから、
問題の式から無理やりx^4+4x^2+4を作ることを考えます。
学生の方なんでそんなことしてるの？
粗茶さんこうするといいことがあるんですよ。
\begin{array}{ll}
&x^4{\color{red}+3x^2}+4\\\\
=&x^4{\color{red}+4x^2}+4{\color{red}-x^2}
\end{array}粗茶さん2項めを4x^2にしてしまったので、帳尻合わせのためにあとからx^2を引きました。
するとx^4+4x^2+4は2乗の形になりますよね。
\begin{array}{ll}
=&(x^2+2)^2-x^2
\end{array}ここで、x^2+2=Aとおくと、
A^2-x^2
となって「2乗の差」の形になっています。
粗茶さんAっておかなくても分かる人は、おかなくてもOK
これは「和と差の積」になるので、
\begin{array}{ll}
=&(A+x)(A-x)
\end{array}Aをもとに戻して整理すると、
\begin{array}{ll}
=&(x^2+2+x)(x^2+2-x)\\\\
=&(x^2+x+2)(x^2-x+2)
\end{array}これで完成です。
初見で思いつくのは不可能だと思うので、Xに置き換えるだけでは因数分解できない場合に、全体を「2乗の差」にする方法があるというのを覚えておくことが大切です。
そしてx^4+4x^2+4を無理やり作ったように、欲しい形を作って、あとから帳尻合わせする、というのも式変形では重要なポイントなので、いろいろな場面でできるようにしておきましょう。
複2次式は「置き換え」か「2乗の差をつくる」のどちらか
この記事では、複2次式の因数分解の解き方を、2パターン紹介しました。
初見では難しく感じますが、その正体は「x^2の置き換え」か「A^2-B^2への誘導」のどちらかしかありません。
単純な置き換えで解けない場合、定数項が何かの2乗になっていないかを確認し、2乗の差をつくる方向に舵をきりましょう。
超頻出というわけではないものの、忘れたころに出てくるのが複2次式。
いつ出てきても対応できるように、やり方を身につけておきたいですね。
このブログでは，自分で勉強しているとき，つまづきやすいポイントを解説。
「かゆいところに手が届く」情報を発信しています。
自分で勉強する際にオススメの参考書や，勉強が楽しくなる文房具も紹介していますので，よろしければご覧ください！
